從很多方面看，數學都是最精確、最複雜的一門科學——至少，作為一位數學家，我是這樣認為的。對數學的發展的描述，使我既局促不安，又特別高興，因為數學歷來都是人類無窮思索的一部分：在人類知識的上升歷程中，數學是通向神奇而又理智的思維的階梯。不過，任何有關數學的描述，似乎都應包括以下這些概念：論證的邏輯性概念，關於自然界（特別是關於空間）確鑿規律的經驗性概念，各種運算概念的形成，以及數學從對自然的靜態描述到動態描述的發展。這些便是本章的主題。
即便是非常原始的民族也有某種數字體系；他們也許不會數到四以上，但他們知道，任何東西中的兩個加上同一種東西的另外兩個，不是有時而是永遠等於四。從這一基本點出發，許多文化形態都建立了自己的數字體系，通常是一種規則大致相近的書面語言。例如。
儘管巴比倫人、瑪雅人，印度人生活的時間和空間相去甚遠，但他們卻創造了基本相同的書寫大數字的方法，即把大數字寫成我們今天使用的位數序列。
因此，在歷史上，沒有哪個地點和哪個時刻，可以讓我站在那裡說：「算術開始於此時此地。」在每一種文化中，人們從學會互相交談的時候起，便開始計數了。算術和語言一樣，始於傳說時代。可是，我理解的用數字進行推論的數學則是另一回事。正是為了在傳說與歷史的交接點上尋求數學的起源，我才乘船來到薩摩斯島（samos）。
傳說時代，薩摩斯島是希臘人祭祀天后赫拉（Hera，the Queenof Heaven）——即宙斯（zeus）的合法（但愛妒忌）的妻子的一個中心。赫拉的神廟，那赫拉倫廟的遺迹可以追溯到公元前6世紀。在大約公元前580年時，希臘數學的第一位天才和奠基人畢達哥拉斯出生在薩摩斯島上。在他生活的年代，薩摩斯島落入了僭主波利克拉特斯（Polycrates）手中。
據傳說，畢達哥拉斯在逃離薩摩斯之前，曾在島上山中一個白石岩洞里傳道授業，這個岩洞至今仍是那些相信這一傳說的人們參拜的地方。
薩摩斯是一個神奇迷人的島嶼。大海的濤聲，樹林的低語，音樂的奏鳴，隨處可聞。雖然別的希臘島嶼也可作為莎士比亞名劇《暴風雨》（The Tempest）的外景，但在我看來，薩摩斯才是普洛斯彼羅（Prospero）住過的那種島嶼，正是在這樣的海岸上，這位學者變成了魔法師。畢達哥拉斯對他的門徒來說，大概也可算是一位魔法師吧，因為他教導他們，自然界是受數字支配的。他說，大自然是和諧的，在她的千變萬化中有一種統一性，大自然也有自己的語言：數便是大自然的語言。
畢達哥拉斯發現，在音樂的和聲和數學之間，有著一種基本的聯繫。有關他這一發現的故事，正像民間傳說一樣，是經過竄改後留傳下來的。但他的發現卻是千真萬確的。一根繃緊的琴弦在整個兒震顫時產生出一個基音。把琴弦精確地劃分為幾等份，就會產生與這個基音和諧一致的音：可以把弦的長度準確地分為兩等份、三等份、四等份，如此等等，如果琴弦的靜止點，即所謂波節（node），沒有落在等分點上，奏出的音就會走調。當我們在琴弦上移動波節時，如果移動到確定的等分點上，我們就會聽到和諧悅耳的音調。撥一撥或拉一拉空弦：這就是基音。將波節移至弦的中心點：這就是高出基音八度的音。將波節移至弦的1/3處：這就是高出基音的第五度音。將波節移至1/4處：這就是高出基音的第四度音。如果將波節移至琴弦的1/5處（畢達哥拉斯沒有做到），這就是大調第三度音。
畢達哥拉斯發現，悅耳動聽——悅西方人之耳——的和聲，與用整數對琴弦的劃分相對應。對畢達哥拉斯學派來說，這一發現有某種神奇的力量。自然與數之間的這種和諧一致竟是如此具有說服力，以致他們完全相信，不僅自然界的各種聲音，就連自然界所特有的各種維和度，都肯定是一些能表現這種和諧的簡單數，例如、畢達哥拉斯本人或他的追隨者們相信，把各個天體與各種音程聯繫起來，就可以計算出這些天體的軌道（希臘人把這些天體描繪為在水晶般透明的天空中繞地球運動）。他們感到，自然界的一切規則都是和諧的；在他們看來，天體的運動，就是天體的和聲。
這些思想使畢達哥拉斯享有一位哲學先知的地位，簡直可說是一位宗教領袖，他的信徒們組成了一個秘密的、也許是革命性的派別。很可能，畢達哥拉斯後來的信徒中有很多人是奴隸，他們相信靈魂轉生，這大概是他們希望死後能過上更為幸福的生活的一種表現方式吧。
我一直在談論數字的語言——算術，但我的最後一個例子卻是幾何形狀的天體。話題的改變並不是偶然的。展現在我們眼前的自然界形態萬千：一道波紋，一個晶體，人的血肉之軀，而正是我們人類不得不去領悟和找出這中間的數的關係。畢達哥拉斯是將幾何學與算術相結合的先驅，這剛好也是我所選擇的一個數學分支，因此看一看畢達哥拉斯在這方面做了些什麼，倒是很合適的。
畢達哥拉斯在證明了音響世界是由精確的數支配的之後，又繼續證明，視覺世界的情形也無不如此。這是一個非凡的成就。我看看自己的周圍；我的確是在這裡，在希臘神奇如畫的風景中，在這蠻荒的大自然的萬千形態中，在俄耳甫斯小山谷和大海之濱。在這美麗動人的渾沌中，哪裡有那簡單的數字結構呢？
這個問題使我們不得不回顧人類關於自然法則的認識中那些最為原始而永恆的觀念。很清楚，要很好地回答這個問題，我們必須從人類的普遍經驗開始。人類的視覺世界建立在兩種經驗之上：重力線是垂直的，水平線與它成直角相交。而正是二者的相交，或我們所看到的這些十字標線確定了直角的性質；於是，如果我把這個憑經驗認定的直角（向下、向兩側）轉動四次，我就又回到了原先的垂直線與水平線相交的位置。直角的定義就是由這樣的四次轉動決定的，而且由此區別干其它任何一種角。
在視覺世界中，在我們的眼睛所看到的垂直平面圖上，如果一個角轉動四次後又回到原來的位置這個角就可以定義為直角。在經驗的水平世界裡，即我們在其間活動的世界裡，這一定義同樣成立。試設想一個這樣的世界，一個有平坦的大地的世界。還有地圖。以及羅盤上的羅經點。從這裡，我向正南方的薩摩斯與小亞細亞之間的海峽望去。我用一塊三角形瓦塊作指針，讓它指向正南方。（我把這個指針做成直角三角形，是因為我要用它作四次直角邊靠直角邊的轉動。）如果我把這個三角形瓦塊轉動一個90度，它就指向正西方。再轉動一個90度，它就指向正北方。轉動第三個90度，它就指向正東方。最後，轉動第四個90度，它就又指向正南方了，即指向它開初所指的小亞細亞方向。
不僅我們所體驗的自然界，而且連同我們所建造的這個世界，都是建立在這樣一種關係的基礎之上的。自從巴比倫人建造空中花園（the Hanging Garden）以來，也許更早一些，即從埃及人建造金字塔以來就是如此。從某種實踐的意義上說，這些文化形態已經知道，有一種工匠使用的三角板，就是按照這種數的關係來構成直角的。早在公元前2000年，巴比倫人就知道很多、也許是幾百個表示這種數的關係的公式。印度人和埃及人也知道一些這類公式。埃及人似乎總是使用一種其三角形邊長比例為3：4：5的三角板。但是,，直到公元前550年前後，才由畢達哥拉斯把這一知識從經驗數據的範疇上升到我們今天所說的論證的範疇。他提出了這樣一個問題：「直角可以在轉動四次後又回到原來的位置；那麼，構成工匠們用的三角板各邊之間的數的關係義是怎樣從這一事實中得出來的呢？」
我們認為，他的論證是這樣的（與教科書中講的論證方法不同），一個正方形的四個角，就是構成羅盤的十字交叉線的四個三角形的四個主方位——東南西北。我移動這四個直角三角形，使每個三角形的斜邊與相鄰角的主方位會合。這樣，我就用四個直角三角形的斜邊構成了一個正方形。因此我們還應該知道哪些是這四個直角三角形所佔據的面積，哪些不是，我再用一小塊瓦把中間未被三角板蓋住的小正方形填上。（我使用瓦塊，是因為在羅馬，在東方，瓦的許多形狀都是從這種數學關係與人類對自然的思考的完美結含中產生出來的）。
現在，我們得到一個由四個直角三角形斜邊組成的正方形。我們完全可以通過計算把這個正方形與由直角邊組成的兩個正方形之間的關係表示出來。但是，這樣就會看不到這一圖形的自然結構及其深刻含意。我們不需要任何計算。一種孩子們和數學家們常玩的小遊戲將比計算揭示更多的道理。把兩個三角形的位置重新交換一下。移動指向南方的三角形，使它的斜邊與指向北方的三角形的斜邊相鄰。然後移動指向東方的三角形，使它的斜邊與捐向西方的三角