我在本章里要討論的是數學，並不是由於數學本身的緣故，而是因為它與希臘哲學有關係——有著一種（尤其是在柏拉圖的思想里）非常密切的關係。希臘人的卓越性表現在數學和天文學方面的，要比在任何別的東西上面更為明顯。希臘人在藝術、文學和哲學方面的成就，其是好是壞可以依據個人的口味來評判；但是他們在幾何學上的成就卻是無可疑問的。他們從埃及得到了一些東西，從巴比倫那裡得到的則很少；而且他們從這些來源所獲得的東西，在數學方面主要地是粗糙的經驗，在天文學方面則是為其非常悠久的觀察記錄。數學的證明方法，則幾乎是完全起源於希臘。
有許多非常有趣的故事——或許並沒有歷史真實性——可以表明，是哪些實際問題刺激了數學的研究。最早的最簡單的故事是關於泰勒斯的，傳說他在埃及的時候國王曾要他求出一個金字塔的高度。他等到太陽照出來他自己影子的長度與他的身高相等的時候，就去測量金字塔的影子；這個影子當然就等於金字塔的高度。據說透視定律最初是幾何學家阿加塔庫斯為了給伊斯奇魯斯的戲劇畫布景而加以研究的。傳說是被泰勒斯所研究過的求一隻船在海上的距離的問題，在很早的階段就已經很正確地解決了。希臘幾何學所關心的大問題之一，即把一個立方體增加一倍的問題，據說是起源於某處神殿里的祭司們；神諭告訴他們說，神要的一座雕象比他們原有的那座大一倍。最初他們只是想到把原象的尺寸增加一倍，但是後來他們才認識到結果就要比原象大八倍，這比神所要求的要更費錢得多。於是他們就派遣一個使者去見柏拉圖，請教他的學園裡有沒有人能解決這個問題。幾何學家們接受了這個問題，鑽研了許多世紀，並且附帶地產生出了許多可驚可嘆的成果。這個問題當然也就是求2的立方根的問題。
2的平方根是第一個有待發現的無理數，這一無理數是早期的畢達哥拉斯派就已經知道了的，並且還發現過種種巧妙的方法來求它的近似值。最好的方法如下：假設有兩列數字，我們稱之為a列和b列；每一列都從1開始，每下一步的a都是由已經得到的最後的a和b相加而成；下一個b則是由兩倍的前一個a再加上前一個b而構成。這樣所得到的最初6對數目就是（1，1），（2，3），（5，7），（12，17），（29，41），（70，99）。在每一對數目里，2a2-b2都是1或者是－1。於是b/a就差不多是2的平方根，而且每下一步都越發地與之接近。例如，讀者們將會滿意地發見，99B70的平方是非常之接近於與2相等的。
普洛克魯斯描述過畢達哥拉斯——此人永遠是個頗為朦朧的人物——乃是第一個把幾何學當作一種學藝的人。許多權威學者，包括湯姆斯.希斯爵士在內，都相信華達哥拉斯或許曾發見過那個以他的名字命名的定理；那個定理是說在一個直角三角形中，弦的平方等於兩夾邊的平方之和。無論如何，這個定理是在很早的時期就被畢達哥拉斯派所知道了的。他們也知道三角形的內角之和等於兩個直角。
除了2的平方根之外，其他的無理數在特殊的例子里也曾被與蘇格拉底同時代的狄奧多羅斯研究過，並且曾以更為普遍的方式被與柏拉圖大致同時而稍早的泰阿泰德研究過。德謨克里特寫過一片關於無理數的論文，但是文章的內容我們已不大知道了。柏拉圖對這個題目是深感興趣的；他在以「；泰阿泰德」命名的那篇對話里提過了狄奧多羅斯和泰阿泰德的作品。在《法律篇》中，他說過一般人對這個題目的愚昧無知是很不光彩的，並且還暗示著他自己之開始知道它也是很晚的事情。它當然對於畢達哥拉斯派的哲學有著重要的關係。
發見了無理數的最重要的後果之一就是攸多克索（約當公元前408-355年）之發明關於比例的幾何理論。在他以前，只有關於比例的算數理論。按照這種理論，如果a乘d等於b乘c，則a比b就等於c比d。這種界說，在還沒有有關無理數的幾何理論時，就只能應用於有理數。然而攸多克索提出了一個不受這種限制的新界說，其構造的方式暗示了近代的分析方法。這一理論在歐幾里德的書里得到了發展，並具有極大的邏輯美。
攸多克索還發明了或者是完成了「窮盡法」，它後來被阿幾米德運用得非常成功。這種方法是對積分學的一種預見。譬如，我們可以舉圓的面積問題為例。你可以內接於一個圓而作出一個正六邊形，或一個正十二邊形，或者一個正一千邊或一百萬邊的多邊形。這樣一個多邊形，無論它有多少邊，其面積是與圓的直徑的平方成比例的。這個多邊形的邊越多，則它也就越接近於與圓相等。你可以證明，只要你能使這一多邊形有足夠多的邊，就可以使它的面積與圓面積之差小於任何預先指定的面積，無論這一預先指定的面積是多麼地小。為了這個目的，就引用了「阿幾米德公理」。這一公理（多少加以簡化之後）是說：假設有兩個數量，把較大的一個平分為兩半，把一半再平分為兩半，如此繼續下去，則最後就會得到一個數量要小於原來的兩個數量中較小的那一個。換句話說，如果a大於b，則必有某一個整數n可以使2n乘b大於a。
窮盡法有時候可以得出精確的結果，例如阿幾米德所做的求拋物線形的面積；有時候則只能得出不斷的近似，例如當我們試圖求圓的面積的時候。求圓的面積的問題也就是決定圓周與直徑的比率問題，這個比率叫作pi；。阿幾米德在計算中使用了22/7的近似值，他做了內接的與外切的正96邊形，從而證明了pi；小於3又1/7並大於3又10/71。這種方法可以繼續進行到任何所需要的近似程度，並且這就是任何方法在這個問題上所能盡的一切能事了。使用內接的與外切多邊形以求pi；的近似值，應該上溯到蘇格拉底同時代的人安提豐。
歐幾里德——當我年青的時候，它還是唯一被公認的學童幾何學教科書——約當公元前300年，即當亞歷山大和亞里士多德死後不久的幾年，生活於亞歷山大港。他的《幾何原本》絕大部分並不是他的創見，但是命題的次序與邏輯的結構則絕大部分是他的。一個人越是研究幾何學，就越能看出它們是多麼值得讚歎。他用有名的品行定理以處理品行線的辦法，具有著雙重的優點；演繹既是有力的，而又並不隱飾原始假設的可疑性。比例的理論是繼承攸多克索的，其運用的方法本質上類似於魏爾斯特拉斯所介紹給十九世紀的分析數學的方法，於是就避免了有關無理數的種種困難。然後歐幾里德就過渡到一種幾何代數學，並在第十卷中探討了無理數這個題目。在這以後他就接著討論立體幾何，並以求作正多面體的問題而告結束，這個問題是被泰阿泰德所完成的並曾在柏拉圖的《蒂邁歐篇》里被提到過。
歐幾里德的《幾何原本》毫無疑義是古往今來最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀念碑之一。當然他也具有典型的希臘局限性：他的方法純粹是演繹的，並且其中也沒有任何可以驗證基本假設的方法。這些假設被他認為是毫無問題的，但是到了十九世紀，非歐幾何學便指明了它們有些部分是可.以0錯誤的，並且只有憑觀察才能決定它們是不是錯誤。
歐幾里德幾何學是鄙視實用價值的，這一點早就被柏拉圖所諄諄教誨過。據說有一個學生聽了一段證明之後便問，學幾何學能夠有什麼好處，於是歐幾里德就叫進來一個奴隸說：「去拿三分錢給這個青年，因為他一定要從他所學的東西里得到好處。」然而鄙視實用卻實用主義地被證明了是有道理的。在希臘時代沒有一個人會想像到圓錐曲線是有任何用處的；最後到了十七世紀伽利略才發現拋射體是沿著拋物線而運動的，而開普勒則發現行星是以橢圓而運動的。於是，希臘人由於純粹愛好理論所做的工作，就一下子變成了解決戰術學與天文學的一把鑰匙了。
羅馬人的頭腦太過於實際而不能欣賞歐幾里德；第一個提到歐幾里德的羅馬人是西賽羅，在他那時候歐幾里德或許還沒有拉丁文的譯本；並且在鮑依修斯（約當公元480年）以前，確乎是並沒有任何關於拉丁文譯本的記.載.。阿拉伯人卻更能欣賞歐幾里德；大約在公元760年，拜占庭皇帝曾送給過回教哈里發一部歐幾里德；大約在公元800年，當哈倫.阿爾.拉西德在位的時候，歐幾里德就有了阿拉伯文的譯文了。現在最早的拉丁文譯本是巴斯的阿戴拉德於公元1120年從阿拉伯文譯過來的。從這時以後，對幾何學的研究就逐漸在西方復活起來；但是一直要到文藝復興的晚期才做出了重要的進步。
我現在就要談天文學，希臘人在這方面的成就正象在幾何學方面是一樣地引人注目。在希臘之前，巴比倫人和埃及人許多世紀以來的觀察已經奠定了一個基礎。他們記錄下來了行星的視動，但是他們並不知道晨星和昏星就是一個。巴比倫無疑地，而且埃及也可能，已經發現了蝕的周期，這就使人能相當可靠地預言月蝕，但是並不能預言日蝕；因為日蝕在同一個地點並不是總