《數學原理》最初不很受歡迎。大陸上的數理哲學分為兩派，形式主義者和直觀主義者。這兩派都完全否認數學是從邏輯出來的，並且利用矛盾來證明他們的否認是正當的。
以希爾伯特為首的形式主義者主張，算術上的符號只是紙上的一些記號，全無意義，算術是由類乎下棋的規則的一些任意的規則而成，按照這些規則，可以把那些記號加以操作使用。這個學說有著避免一切哲學爭論的有利條件，但它也有不能解釋數字在計算中應用的不利條件。如果把○這個符號看做是指一百或一千或任何別的有限數，則形式主義者所提出的一切使用規則也就得到了證實。這個學說無法解釋象「這間屋子裡有三個人」或「有十二個使徒」這樣一些簡單的命題是什麼意思。對於從事計算，這個學說是完全夠用的，但是在數的應用上則是不夠的。既然重要的是數的應用，形式主義者的這個學說不能不看做是一種不滿人意的逃避。
以伯勞威為首的直觀主義者的學說須更認真地討論一下。這個學說的核心是否定排中律。這個學說認為，如果有一個方法能確定一個命題是正確或錯誤，那個命題才能算是正確或錯誤。常見的例子之中有一個就是這樣一個命題：「在π的小數計算中有三個連續的七」。就已經求出來的π的值來說，並沒有三個連續的七，但是沒有理由假定在後來的一個地方這就不會出現。如果今後看來果真有一個地方有三個連續的七出現，問題就解決了，但是，如果這樣一個地方沒有達到，那並不能證明後來不會有這樣一個地方。所以，雖然我們也許完全能證明是有三個連續的七，我們卻永遠不能證明沒有。這個問題對於分析是很重要的。不盡的小數有時候是按一條定律來進行，這條定律使我們能夠隨意計算多少項。
但有時（我們必須這樣假定）它們不按任何定律來進行。根據一般承認的原則，第二種情形比第一種情形不知要普遍多少倍。而且，如果不承認「不法的」這樣的小數，則整個實數學說就塌台了，並且微積分以及幾乎整個高等數學也就隨之瓦解。伯勞威面對這一災難，毫不畏縮，但是大多數數學家認為是受不了的。
這個問題的普遍性比上面那個數學例子所表現的要大得多。問題是：「如果沒有方法來決定一個命題正確或錯誤，說這個命題正確或錯誤有沒有任何意義？」或者用另一個方式來說：「『真』和『能證實』應該是一回事嗎？」我認為我們不能說這是一回事，否則我們只得作一些粗劣而無理的悖論。請以下邊這個命題為例：「公元一年的一月一日曼赫坦島上下了雪」。我們想不出有什麼法子能夠看出這個命題是正確或錯誤，但是主張這個命題不正確也不錯誤，看來是荒謬的。關於這個問題我現在不想再說下去，因為我在《對意義與真理的探討》的第二十和第二十一章中曾詳細討論過，關於《對意義與真理的探討》一書我在本書的後邊一章還要講到。同時，我想直觀主義者的學說是不能不加以拒斥的。
直觀主義者和形式主義者都是從外面來攻擊《數學原理》的學說，而擊退他們的攻擊好象並不十分困難。維根斯坦及其學派的批評就另是一回事了。這些批評是來自裡面，十分值得尊重。
維根斯坦對我有過深遠的影響。我漸漸覺得，在很多點上我和他的意見相合是過了分。可是我不能不先解釋一下爭論之點是什麼。
維根斯坦對於我的影響是分兩起來的：第一篇是在第一次大戰之前；第二篇是大戰一完他就把他的《邏輯哲學論》的原稿寄給我。他後來的學說，在他的《哲學研究》中所講的，絲毫沒有影響我。
在一九一四年之初，維根斯坦給了我一篇用打字機打好的短文章，裡邊是一些論各種邏輯問題的筆記。這篇文章，和多次的談話，影響了我在戰時那幾年的思想。戰時他在奧國的軍隊里，因此我完全和他中斷了聯繫。我在這個時候對他的學說的了解完全是來自未經發表的材料。我不確實知道，那個時候或者後來我自己相信是由他而來的意見，事實上真是他的意見。他始終否認別人對他的學說的解釋，即使這些人是他的熱誠的門徒。我所知道的唯一例外是E．Ｐ．萊穆塞，這一個人我不久就要討論。
一九一八年之初我在倫敦連續做了一些講演。這些講演後來登在《一元論者》學報里（１９１８及１９１９）。我曾用下面表示感謝維根斯坦的話來作這些講演的序言：「以下的文章是一九一八年頭幾個月在倫敦所做的連續八個講演的前兩個，主要是從事解釋我從我的朋友、從前的學生路得維希?維根斯坦所學來的一些想法。自一九一四年八月以後，我就沒有機會知道他的主張了。我甚至都不曉得他活著還是死了。因此，除了這些講演中的許多理論當初是他供給的之外，他對於這些講演中所說的話不負責任。
另外那六個講演將在《一元論者》的以後三期里登載」。
正是在這些講演里，我首先採用了「邏輯原子主義」這個名字來形容我的哲學。但是多談這一方面是不值得的，因為維根斯坦的一九一四年的學說尚處在一個不成熟的階段。
重要的是《邏輯哲學論》，停戰不久之後他就把打字稿本寄給了我，那時他還是在蒙特卡西諾的一個俘虜。我將討論《邏輯哲學論》的學說，先討論那時這些學說對我的影響，其次討論後來我對於這些學說的想法。
也許《邏輯哲學論》在哲學上的基本學說是，一個命題是這個命題所說的那些事實的一個圖形。一張地圖顯然是傳達一些正確或不正確的知識；如果這些知識是正確，那是因為這張地圖和其所關的地方二者之間在結構上有相似之處。
維根斯坦認為，用語言來斷定一件事實也是如此。例如他說，如果你用「ａＲｂ」
這個符號來代表ａ對ｂ有Ｒ關係這件事實，你的符號之所以能夠代表是因為這個符號在「ａ」和「ｂ」之間建立起來一種關係，這種關係代表ａ和ｂ之間的關係。這個學說是強調結構的重要性。例如他說：「留聲機器、音樂思想、樂器、聲波，彼此都有那種圖畫似的內在關係。在語言和世界之間也有這種關係。邏輯結構和所有這些都有共通之點。」
「（正象故事裡的那兩個青年、他們的兩匹馬和他們的百合花。在某種意義上說，他們都是一回事。）」（《邏輯哲學論》，４．０１４。）。
強調結構的重要性，我仍然認為他是對的。可是，至於一個正確的命題必須重現所關的事實結構這樣一個學說我現在覺得很可懷疑，雖然當時我是承認這個學說的。無論如何，即使這個學說在某些意義上是正確的，我也不認為它有什麼很大的重要性。可是維根斯坦卻以為是根本的。他把它當做一種奇怪的邏輯神秘主義的基礎。他主張一個正確的命題和與它相應的事實所共有的?形?式只能表示出來，而說不出來，因為它不是語言中的另一個字而是一些字或與這些字相當的一些東西的一種安排：「命題能夠表現整個的實在，但是它們不能為了能夠表現實在，來表現它們必與實在相共有的地方——邏輯的形式。
「為了表現邏輯的形式，我們應該能夠把我們自己和命題置於邏輯之外，那就是說世界之外」（《邏輯哲學論》，４．１２．）。
這是提出來的唯一之點在我極接近同意維根斯坦的主張的時候，我仍然不能信服。
在《邏輯哲學論》我的導言中我建議，雖然在任何一種語言中有一些語言所不能表示的東西，可是總有可能構成一種高一級的語言，能把那些東西說出來。在這種新的語言中還要有一些東西說不出來，但是能在下一種語言中說出來，如此等等以至於無窮。這種建議在那個時候是新奇的，現在已經變成一種公認的邏輯上的平凡的東西了。
這就消除了維根斯坦的神秘主義，並且，我想，也解決了哥德爾所提出的新的謎。
其次我講一講維根斯坦關於同一的說法。他這種說法的重要性也許不是一時就看得出來的。要解釋這個學說，我不能不先把《數學原理》里關於同一的定義說一說。在一件事物的性質中，懷特海和我判別出一些來，我們稱之為「敘述的」。這是和總的性質無關的一些性質。例如，你可以說，「拿破崙是科西加島人」，或者「拿破崙胖」。這樣說的時候，你並不是指集合起來的性質。可是如果你說「拿破崙具有大將的眾長」，或者「伊麗沙白女王第一兼具她父親和祖父的諸種德性，而沒有他們的毛病」，你是指總的性質。我們把這樣涉及到總體的性質和敘述的作用加以區分，是為避免一些矛盾。
我們把「ｘ和ｙ是等同的」的定義說成是指「ｙ具有ｘ的所有的敘述的性質」，並且，在我們的系統里，必然的結果是，ｙ具有ｘ所具有的任何性質，不管是敘述的，還是不是敘述的。對於這一點維根斯坦所持的異議如下：「羅素對於「＝」所下的定義是不行的；因為按照這一個定義來講，我們不能說兩件事物所有的性質都為它們所共有。（即使這個命題一點也不正確，卻是含有意思的。）「大體上說