大家只從哲學的觀點來看《數學原理》，懷特海和我對此都表失望。對於關於矛盾的討論和是否普通數學是從純乎邏輯的前提正確地演繹出來的問題，大家很有興趣，但是對於這部書里所發現的數學技巧，大家是不感興趣的。我從前知道只有六個人讀了這部書的後面幾部分。其中三個是波蘭人，後來（我相信）被希特勒給清算掉了。另外三個是得克薩斯州人，後來被同化得很滿意。甚至有些人，他們所研究的問題和我們的問題完全一樣，認為不值得查一查《數學原理》關於這些問題是怎麼說的。我舉兩個例子：大約在《數學原理》出版十年之後，《數學紀事》發表了一篇長文，其中一些結果我們在我們的書里的第四部分不約而同早已經弄出來了。這篇文章里有些錯誤，我們卻避免了，可是沒有一個正確的地方不是我們已經發表過的。這篇文章的作者顯然完全不知道他的這種工作早已經有人先他而為之了。第二個例子是在我在加利福尼亞大學和萊申巴赫同事的時候出現的。他告訴我，他有一項發明，他把數學歸納法引伸了。他名之為「超限歸納法」。我對他說，這個問題是在《數學原理》的第三卷里充分討論過的。過了一個星期，他對我說，他已經證實了這一點。我想在本章里儘可能不過於專門，從數學的觀點，不從哲學的觀點，把《數學原理》我認為重要的幾方面解釋一下。
我先從一個問題著手，這是一個哲學上的問題，也同樣是一個數學上的問題，就是，關係的重要性。在我的論萊布尼茨的書里，我曾著重討論過有關係的事實和命題的重要性，和這些相對立的是由本體——和——屬性而成的事實和由主辭——和——賓辭而成的命題。我發現對關係所持的偏見在哲學和數學裡是發生了不良影響的。正象萊布尼茨未獲成功的努力一樣，布爾的數理邏輯是討論類的包含的，而且只是三段論法的一種發展。皮爾斯曾弄出一種關係邏輯，但他是把關係當作一種由雙而成的類。這在技術上是可能的，但是並不自然而然地把注意力引向重要的東西。在關係邏輯里重要的東西是與類邏輯不同的東西。關於關係，我在哲學方面的意見有助於使我著重一種東西，這種東西結果變得極為有用。
在那個時候，我幾乎是只把關係認做是內包。我想到了這樣一些句子：「ｘ在ｙ之前」、「ｘ大於ｙ」、「ｘ在ｙ之北」。那時我覺得（我現在確是仍然覺得），雖然從一種形式演算法的觀點來看我們可以把關係當做一套有序的偶，可是使這一套成為一個統一體的只是內包。當然，類也是如此。使一個類成為一個統一體的只有那個為類中的各項所共具、又為各項所特有的內包。凡是我們對付一個類，其中的項我們無法列舉的時候，上面所講的道理是顯而易見的。就無限的類來說，無法列舉是很明顯的，可是大多數有限的類也正是如此。舉例來說，誰能列舉蠼螋這個類其中的各項呢？雖然如此，我們還是可以說出一些關於一切蠼螋的命題來（或真或偽），我們之所以能夠如此，乃是由於使這個類所以能夠成立的內包。以上所說各點也一樣可以用於關係。關於時間上的次序，我們有很多事情可說，因為我們懂得「在先」這個字的意思，雖然ｘ在ｙ之先這樣的ｘ，ｙ一切的偶我們是無法列舉的。但是對於關係是偶的類這種見解還有一個反對的議論：這些偶必須是有序的偶，那就是說，我們必須能夠分別ｘ，ｙ這個偶和ｙ，ｘ這個偶。若是不藉內包上的某種關係，這是做不到的。只要我們只限於類和賓辭，就不可能解釋次序，或把一個有序的偶和無序的一個兩項的類加以區分。
所有這些都是我們在《數學原理》里所發展出來的關係演算法的哲學背景。我們不得不把各種概念用符號來表示，這些概念在以前是數理邏輯學家們沒有弄得顯著的。這些概念中最重要的是：（１）由一些項而成的類，這些項對於一個既定的ｙ項有Ｒ關係；（２）由一些項而成的類，對於這些項一個既定的ｘ項有Ｒ關係；（３）關係的「範圍」，這個範圍是由一個類而成，這個類中所有的項對於某種什麼東西有Ｒ關係；（４）Ｒ的「相反範圍」，這個範圍是由一個類而成，某種什麼東西對於這個類中所有的項有Ｒ關係；（５）Ｒ的「領域」，這個領域是由上面所說的那種「範圍」和「相反範圍」而成；（６）一種Ｒ關係的「反面」，這是ｘ和ｙ之間有Ｒ關係的時候，ｙ和ｘ之間所具的一種關係；（７）Ｒ和Ｓ兩種關係的「關係產物」，這是有一個ｙ中項的時候，ｘ和ｚ之間的一種關係，ｘ對於ｙ有Ｒ關係，ｙ對於ｚ有Ｓ關係；（８）複數，界說如下：有既定的某ａ類，我們形成一個由若干項而成的類，所有這些項對於ａ的某項有Ｒ關係。我們可以看一看人與人的關係來作以上各種概念的例子。舉例來說，假定Ｒ是父母與子女的關係。那麼，（１）就是ｙ的父母；（２）是ｘ的子女；（３）是所有那些有子女的人的類；（４）是所有那些有父母的人的類，那就是說，除了亞當和夏娃以外，每人都包括在內；（５）「父母」關係的領域包括每個人，他或是某人的父母，或是某人的子女；（６）「的父母」這種關係的反面是「的子女」那麼一種關係；（７）「祖父母」是父母與父母的關係產物，「弟兄或ae?妹」是「子女」與「父母」的關係產物，「堂兄弟或弟兄或ae?妹」是孫和祖父母的關係產物，余可以類推；（８）「伊通學院學生的父母」是按這一個意義來說的複數。
不同種類的關係有不同種類的用處。我們可以先講一種關係，這種關係產生一種東西，我名之曰「敘述函項」。這是最多只有一項對於既定的一項所能有的一種關係。這種關係產生用單數的「ｔｈｅ」這個字的短語，如「ｔｈｅfａｔｈｅｒofｘ」（ｘ的父親），「ｔｈｅｄｏｕ－ｂｌｅofｘ」（ｘ的兩倍），「ｔｈｅｓｉｎｅofｘ」（ｘ的正弦），以及數學中所有的普通函數。這種函項只能由我名之曰「一對多」的那種關係產生出來，也就是最多一項對於任何別的一項所能有的那種關係。舉例來說，如果你正在談一個信基督教的國家，你可以說「ｘ的妻」，但是如果用於一個一夫多妻制的國家，這一個短語的意思就不明確了。在數學裡你可以說「ｘ的平方」，但是不能說「ｘ的平方根」，因為ｘ有兩個平方根。前面所列的表裡的「範圍」、「相反範圍」和「領域」都產生敘述函項。
第二種極其重要的關係是在兩個類之間建立一種相互關係的那種關係。這種關係我名之曰「一對一」的關係。這是這樣一種關係，在這種關係中，不僅最多只有一個對於一個既定的ｙ有Ｒ關係的ｘ，而且最多也只有一個ｙ，對於這個ｙ一個既定的ｘ有Ｒ關係。舉一個例子：禁止一夫多妻的婚姻。
凡是在兩個類之間有這樣一種相互關係存在，這兩個類的項的數目就是一樣的。舉例來說：不用計算我們就知道妻的數目和夫的數目是一樣的，人的鼻子的數目和人的數目是一樣的。有一種特殊形式的相互關係，這種關係也是極其重要的。
這種相互關係的起因是：有兩個類是Ｐ和Ｑ兩個關係的領域，並且在它們之間有一種相互關係，凡是兩個項有Ｐ這種關係的時候，它們的相關者就有Ｑ這種關係，反之亦然。結過婚的官吏的位次和他們的妻的位次就是一個例子。如果這些妻不和貴族有關係，或者如果這些官吏不是主教，這些妻的位次就和丈夫的位次是一樣的。這種產生相互關係的東西名曰「次序的相互關係產生者」，因為不管在Ｐ領域中的各項有怎麼一種次序，這種次序總保存在Ｑ領域中的它們的相關者中。
第三種重要的關係類型是產生系列的一種關係。「系列」是一個舊的，人人都熟悉的名辭，但我認為我是給這個辭以一個確切意義的第一個人。一個系列就是一個組，包含若干項，這些項有一個次序，這個次序來源於一種關係，這種關係具有三種性質：（ａ）這種關係一定是不對稱的，那就是說，如果ｘ對ｙ有這種關係，ｙ對ｘ就沒有這種關係；（ｂ）它一定是及物的，那就是說，如果ｘ對ｙ有這種關係，並且ｙ對ｚ有這種關係，ｘ對ｚ就有這種關係；（ｃ）它一定是連接的，那就是說，如果ｘ和ｙ是這種關係領域中的任何不同的兩項，那麼，不是ｘ對於ｙ有這種關係，就是ｙ對於ｘ有這種關係。如果一種關係具備了這三種性質，它就把它領域中的各項排列在一個系列中。
所有這些性質都很容易用人與人關係的例子來說明。?丈?夫這種關係是不對稱的，因為如果Ａ是Ｂ的丈夫，Ｂ就不是Ａ的丈夫。相反，配偶就是對稱的。祖先是及物的，因為Ａ的一個祖先的一個祖先是Ａ的一個祖先；但是?父?親是不及物的。在一個系列關係所必具的三個性質之中，祖先具備兩個，不具備第三個，「連接」，那個性質，因為，並不是任何兩個人之中，一個一定是另一個的祖先。另外一方面，舉例來說，如果我們看一看一個皇室的王位繼承，兒子總是繼承父親，僅限於這個王系的祖先關係是連接的，所以這些國王形成一個系列。
上面這三種關係是邏輯和普通數學之間過