自一九○○直到一九一○這些年，懷特海和我把我們大部分的時間都用於後來所成的《數學原理》。雖然這部著作的第三卷到一九一三年才出版，我們在這部書里的任務（除去校對）是在一九一○年完成的，我們在那一年把全部稿子交給了劍橋大學出版社。
我在一九○二年五月二十三日寫完的《數學的原理》結果變成了其後那部著作的一個粗糙、很不成熟的草稿。可是，《數學的原理》和《數學原理》不同之點是，《數學的原理》是包含著和別的一些數學哲理的爭論。
我們所想解決的問題有兩種：哲學的與數學的。大致說來，懷特海把哲學問題留給我。至於數學問題，記號法大部分是懷特海創製的，（引用皮亞諾者除外）。關於級數大部分的工作是我做的，其餘是懷特海做的。但是這只是指初稿。每一部分都是弄過三次。我們兩個人不管是誰擬出一個初稿的時候，他就把這個初稿送交另一個人，這一個人通常是把它大加修改。然後，原來擬初稿的人再把它最後定稿。這三卷書幾乎沒有一行不是合作的成品。
《數學原理》的主要目的是說明整個純粹數學是從純乎是邏輯的前提推出來的，並且只使用以邏輯術語說明的概念。這當然和康德的學說正是相反。一開始我以為這部書是用以駁斥「那個強詞奪理的庸人」的一個插話，這個對康德的稱呼是佐治?坎特說的。
坎特為表示得更明確一點，又說：「他不大懂得數學」。但是後來這部書向兩個不同的方向發展了。在數學方面，整個新的題目出現了，包含新的記號法在內，有了這種新的記號法，就可以把從前用散漫粗疏的普通語言所對待的事物，用符號來處理。在哲學方面，有兩種相反的發展，一種是愉快的，一種是不愉快的。愉快的是，所需要的那套邏輯機構結果是比我所想像的要小。特別是，結果知道類是不必要的了。在《數學的原理》里有許多是討論一的類和多的類二者之間的區別。關於這一點的全部討論，以及那本書里很多複雜的論證，證明是不必要的。結果是，那本書寫成後好象是缺乏高深的哲理，難解是高深的最明顯的特點。
那個不愉快的方面確實是很不愉快的。自亞里士多德以來，無論哪一學派的邏輯學家，從他們所公認的前提似乎可以推出一些矛盾來。這表明有些東西是有毛病，但是指不出糾正的方法是什麼。在一九○一年的春季，其中一種矛盾的發現把我正在享受的那種邏輯蜜月打斷了。我把這件倒運的事告訴了懷特海，他引了一句話：「愉快自信的清晨不再來」，我卻不能得到安慰。
坎特證明沒有最大的基數。我是把坎特的這個證明細想了一番之後，發現了上述的那個矛盾的。我腦筋簡單，以為世界上所有的事物的數目一定是可能有的最大數目了。
我把他的證明用於這個數目，看一看怎麼樣。這個辦法使我考慮一個特殊的類。我順著以前看起來好象是適當的路線去思索，我覺得一個類有時候是，有時候又不是它自己的一個項。舉例來說，匙子這個類不是另一個匙子。但是，不是匙子的那些事物的這個類卻是不是匙子的那些事物之一。似乎有些例子不是負的：例如，所有類這個類是一個類。
把坎特的論證加以應用，使我考慮不是自己的項的那些類。好象這些類一定成一類。我問我自己，這一個類是不是它自己的一項。如果它是它自己的一項，它一定具有這個類的分明的特性，這個特性就不是這個類的一項。如果這個類不是它自己的一項，它就一定不具有這個類的分明的特性，所以就一定是它自己的一項。這樣說來，二者之中無論那一個，都走到它相反的方面，於是就有了矛盾。
最初我以為在我的推理的裡面必是有怎麼一種小小的錯誤。在一種邏輯的顯微鏡下我檢查了每一步，可是我發現不出有什麼不對來。我給弗雷格寫了一封信，把這件事告訴了他。他回答說，算術發生了動搖，他並且說，他看出他的第五個定律是不能成立的。
這個矛盾使弗雷格十分煩惱，他放棄了從邏輯演繹出算術的企圖，直到那個時候為止，他本是一生致力於此的。就象遇到無理數的畢達哥拉斯的門徒們一樣，弗雷格逃到幾何學裡去了，顯然他以為直到那個時候，他一生的事業是走錯了路。至於我呢，我覺得毛病是在邏輯，而不在數學，邏輯非加以改造不可。由於發現了一個秘訣，我的這個意見得到了證實，用這個秘訣可以製造出簡直是無限數目的矛盾來。
對於這個情形，哲學家和數學家們有各種不同的反應。班格萊是不喜歡數理邏輯的，他曾非難數理邏輯，以為它是不能有結果的。他高興地說：「它不是不能有結果的了，它產生了矛盾。」這話的確是很好，但是並不能解決問題。一些別的不贊成佐治?坎特的數學家採取三月兔的解決辦法：「這個我膩煩了，我們還是換個題目罷」。我覺得這也不妥當。但是後來有些人認真想解決這個問題，那些人懂得數理邏輯，並且知道確有用邏輯解決的必要。其中第一個人是F．Ｐ．萊穆塞。
不幸他死得早，沒有完成他的工作。但是在《數學原理》出版以前的那些年，我不曉得後來對解決這個問題所做的努力。
我實際上是獨自在那裡納悶。
有一些更老的悖論（其中有一些是為希臘人所知道的）我覺得引起了類似的問題，雖然我以後的一些作者認為這些悖論是另外的一種。其中最著名的是那個關於克利特人艾皮米尼地斯的悖論。他說所有的克利特人都是說謊的人。這就使人問，他說這話，他是不是不說謊。如果一個人說：「我是說謊呢」，這就是這個悖論所表現的最簡單的形式。如果他是說謊，那麼他是說謊就是一個謊，因此他就是說實話；但是如果他是說實話，他就是說謊，因為那是他說他正在做的事。這樣，矛盾就是不能避免的。聖保羅曾經提到過這個悖論①。可是他對於這個悖論的邏輯方面並沒有興趣。他所感興趣的是，這個悖論證明異教徒是壞的。但是數學家們可以把這些難以索解的問題打發開，以為是和他們的科目毫無關係，雖然他們不能把是否有一個最大的基數或最大的序數這些問題置之於不顧，這兩個問題都使他們陷入矛盾。關於最大序數的矛盾是在我發現我的矛盾之前被布拉力福爾提發現的。但是他的這件事是複雜得多，因此我也就以為在推理上是有些小小的錯誤。無論如何，因為他的矛盾遠不象我的矛盾那麼簡單，乍一看來好象摧毀的力量不是那麼大。可是，結果我不得不承認其嚴重是一樣的。
在《數學的原理》里我並沒有公然說我已經找到了一個解決的方法。我在那本書的序言里說：「發表一本包含那麼許多未曾解決的爭論的書，我的解釋是，經過研究，在第十章中所討論的矛盾，我看不出最近有得到適當解決的希望，對於類的性質最近也沒有希望看得更深更透。有些解決的辦法曾使我得到一時的滿足。後來常常發現這些解決的辦法是有錯誤的。這種發現使人覺得，好象是較長時間的思索也許可以得出一些表面看來是滿意的學說，有了這些學說，問題就顯露不出來了。因為這個道理，只把困難說出來，比等下去一直到我相信一個幾乎一定是錯誤的學說中有真理，好象是要更好一點。」
在討論矛盾的那一章之末我說：「上面所說的矛盾不包含特殊的哲學。這種矛盾是直接起源於常識。這種矛盾唯一解決的辦法是放棄某種常識的假定。只有以矛盾為滋養的黑格爾哲學才能不關心，因為它處處遇到與此類似的問題。在任何別的學說里，這樣一個正面的挑戰要求你做出一個答覆，否則就是自己承認沒有辦法。幸而，就我所知，在《數學的原理》的任何別的部分，沒有別的與此類似的困難出現。」在書後的附錄里我提出類型說可以給予一個言之成理的解釋。最後我深信這個學說會解決這個問題，但是在我從事寫作《數學的原理》的時候，我只把這個學說弄得粗具規模。
這個學說在此情形之下是不能勝任的。我在那個時候所得到的結論表現在這本書的最後一段里：「總括起來說，看來第十章的那個特別的矛盾是被類型說解決了。只是，至少有一種很類似的矛盾大概是不能用這種學說解決的。看來所有邏輯的對象或所有命題，全體包含一種基本的邏輯上的困難。這種困難的完滿解決是什麼，我還沒有發現到；但是因為它影響推理的基礎，我懇切盼望所有治邏輯學的人對它加意研究。」
《數學的原理》寫完之後，我準備決意對於這些悖論找到一個解決。我覺得這幾乎是對我個人的一個挑戰，而且，如果勢不得已，我就要花掉我整個的余年來應戰。但是有兩個理由我以為這是極其不愉快的。第一，我覺得這整個問題是無足重輕的。我極不願意把注意力集中在一件並不見得實在是有趣的事情上。第二，恁其我怎麼努力，我沒有進展。一九○三年和一九○四年這一整個時期，我差不多完全是致力於這一件事，但是毫不成功。我第一個成就是一九○五年春季的敘述學說。這個學說我將在下文談到。
在表面上看，這是