我認為大學中有院系之分是必要的，但其結果是很不幸的。邏輯被人看做是哲學的一個分枝，而且曾為亞里士多德所論述過，因此大家就認為這一個科目只有熟悉希臘文的人才能討論。結果，數學只被不懂邏輯的人所討論。自亞里士多德和歐幾里德時代到本世紀，這種分裂是有很大的損害的。
在一九○○年巴黎開國際哲學會的時候，我意識到邏輯改革對於數理哲學的重要性。
我是因為聽了來自突林的皮亞諾和到會的一些別的哲學家的討論才認識到了這一點。在此以前，我不曉得他曾做過一些什麼。但是我深深感到，在每項討論的時候，他比別人更精確，在邏輯上更嚴密。我去見他，並對他說：「我想把你所有的著作都讀一下，你身邊有嗎？」他有。我立刻把他的著作都讀了。正是這些著作促進了我對於數學原理有我自己的主張。
數理邏輯並不是一個新的學科。萊布尼茨曾經嘗試了一下，但是由於敬重亞里士多德，而受到了阻礙。布爾在一八五四年發表了他的《思想律》，弄出來一整套計演算法，主要是講類的包含。皮爾斯曾經開創了一種關係邏輯。施勒德曾發表過一部著作，分三大卷，概述了以前的成果。懷特海在他的《普遍代數學》的第一部分里專論布爾的計演算法。上面所說的這些著作大多數我那時是熟悉的。但是我不覺得這些著作對於弄明白算術的基本原理有什麼幫助。正在我去巴黎之前我關於這一個題目所寫的文章的原稿，我現在還有，我現在又把它讀了一遍，我發現，關於算術對於邏輯所提出來的問題，這篇文章連初步的解決都沒有做到。
皮亞諾所給我的啟發主要是來自兩個純乎是技術上的進步。如果一個人沒有象我那樣花過若干年的時間想法了解算術，他很不容易知道這兩種進步的重要性。這兩種進步都是弗雷格在更早一個時期取得的。我疑心皮亞諾未必知道這一點，而且我也是到後來才知道的。雖然有困難，可是我一定盡我的能力來解釋這兩種進步是什麼，以及為什麼很重要。我先講這兩種進步是什麼。
第一種進步是把「蘇格拉底是不免於死的」這種形式的命題和「一切希臘人是不免於死的」這種形式的命題分開。亞里士多德和人所共認的關於三段論式的學說（康德以為這種學說永遠不能再有改進）認為這兩種形式的命題是沒有區別的，要不然，總也沒有什麼大的不同。但是，事實上，若看不出這兩種形式是完全不同，不論是邏輯還是算術，都不會有長足的進展。「蘇格拉底是不免於死的」把一個賓辭加於一個是人名的主辭上。「一切希臘人是不免於死的」表示兩個賓辭之間的關係，也就是，「希臘人」和「不免於死」，把「一切希臘人是不免於死的」全部說出來是，「就ｘ的一切可能有的值來說，如果ｘ是希臘人，ｘ是不免於死的」。這裡不是一個主辭—賓辭的命題，而是把兩個命題函項連結起來。如果給ｘ這個變項指定一個值，則兩個命題函項的每一個就變成一個主辭—賓辭的命題。「一切希臘人是不免於死的」這個命題並不是單講希臘人怎麼樣，而是一個講宇宙中一切事物的命題。若ｘ是希臘人，「如果ｘ是希臘人，ｘ就是不免於死的」這個命題固然能夠成立，若是ｘ不是希臘人，這個命題也一樣能夠成立。
實在說來，即使希臘人完全不存在，這個命題也能成立。「一切小人國的人是不免於死的」是能成立的，雖則小人國的人是不存在的。「一切希臘人是不免於死的」之所以不同於「蘇格拉底是不免於死的」這個命題，是它並沒有指明哪一個人，而僅僅是表示賓辭與賓辭的連結。它之能夠成立不能用枚舉來證明，因為（再說一遍）所說的這個ｘ並不限於是希臘人的那些ｘ，而是及於全宇宙。但是，雖然這個命題不能用枚舉來證明，卻能為人所理解。我不知道是否有長翅膀的馬，這樣的馬我確是從來沒有見過，但是我卻可以知道一切長翅膀的馬都是馬。總而言之，凡含有「一切」這兩個字的命題都是包含命題函項的命題，但是並不包含這些函項的任何特殊的值。
我從皮亞諾聽到的第二個重要的進步是，由一個項所成的一個類和那個項並不相等。
例如，「地球的衛星」是一個類，它只有一個項，就是，月亮。但是把一個類和它僅有的項等同起來，就在集合的邏輯里引起完全無法解決的問題來，因此在數的邏輯里也引起完全無法解決的問題來，因為數所適用的是集合。一經指出，就很容易明白把「地球的衛星」和月亮等同是不適當的。如果發現地球有第二個衛星，「地球的衛星」這個短語不會改變它的意義；對於一個懂天文學卻不知道地球有一個衛星的人，這個短語也不會缺乏意義。從另一方面說，如果我們可以把「月亮」當做一個名稱，關於月亮的命題，除了對於那些曉得月亮的人以外是沒有意義的。對於不曉得月亮的人如果不解釋「月亮」
就等於「地球唯一的衛星」這個短語，「月亮」不過是一個沒有意義的聲音罷了；如果這個解釋被代替了，關於月亮的命題就沒有我們說：「今天晚上月亮亮」的時候在你和我看來所具的意義。一個人不用描寫，他是把概念連結到一起，不是和感覺世界直接相接觸。一個人說：「月亮亮」，他卻是和感覺世界直接相接觸。關於這一點，我們現在所討論的這個區別，和前面我們所說「蘇格拉底是不免於死的」跟「一切希臘人是不免於死的」之間的分別，有些相似。
讀者說不定會以為，上邊的那些區別不過是學究的裝腔做勢，賣弄學問。我現在不能不想法說明並非如此。
弗雷格以前的作者都把算術的哲理想錯了。他們這些人所犯的錯誤是一個很自然的錯誤。他們以為數目是由數數兒得來的。他們陷入了無法解決的困境，是因為可以算做一個的東西，也一樣可以算做多。請以這樣一個問題為例：「英國有多少足球俱樂部？」
在回答這一個問題的時候，你把每一個俱樂部當做一，但是你也一樣可以問：「某某足球俱樂部有多少會員？」那樣，你就把這個俱樂部當做多了。而且，如果甲先生是這些俱樂部之一的一個會員，雖然他原先算做一，你這樣問也一樣正當：「甲先生是由多少分子而成的？」那麼，甲先生就算是多。所以，顯而易見，從計算的觀點來說，使什麼東西之為一，不是這件東西的物質構造，而是「這是什麼的一個具體例子？」這個問題。
你從計算所得來的數目是某種集體的數目。在你數這個集體以前，它無論什麼數目都有。
只是按某種東西的許多實例來說，這個集體才是多。這個集體又是另一種東西的一個實例，在數數目的時候是按實例來說算做一。這樣我們就不得不面向這一個問題：「一個集體是什麼？」和「一個實例是什麼？」若是不用命題函項，二者都無法理解。一個命題函項就是一個式子，其中包含一個變項，一旦給這個變項定一個值，這個式子就成了一個命題。舉例來說，「ｘ是一個人」是一個命題函項。如果我們用蘇格拉底或柏拉圖或任何別的人來代替ｘ，我們就得到一個命題。我們也可以用一個什麼不是人的東西來代替ｘ，我們仍然得到一個命題，雖然按這一個例子來說這個命題是不能成立的。一個命題函項僅是一個式子而已。它本身並不能表示任何東西。它可以作一句話的一部分，這句話確有所斷定，能成立或不能成立：「ｘ是一個使徒」是沒有意義的。但是「ｘ有十二個值，因此『ｘ是一個使徒』是能成立的」是一個完整的句子。類似的話也可以用於實例這個概念。我們把某種東西當做一個實例的時候，我們是把它當做一個命題函項里一個變項的一個可能有的值。如果我說：「蘇格拉底是人的一個實例」，我的意思是說，蘇格拉底是ｘ的一個值，因此「ｘ是一個人」是能成立的。經院哲學家有一句格言，意思是說，一和存在是同義語。這句格言只要大家信以為真，就沒有法子把１的意義弄明確。事實的真相是，存在是一個沒有用處的字。而且，誤用這個字的人應用這個字所應用到的那種事物既可以是一，也往往可以是多。?一不是事物的一個特徵，而是某些命題函項的一個特徵，就是說，有以下這種特性的那些命題函項：有一個ｘ使這個函項為真，而且這個ｘ是這樣，如果ｙ使這個函項為真，ｙ就和ｘ是同一的。這是一元函數的定義。１這個數目是一元的特性，這種特性是為某些函數所具有的。同樣，零函數是一個對於ｘ的所有的值來說都是錯誤的函數，成為一個零函數，其特性是０。
關於數的那些舊的學說，到０和１以上，總是遇到困難。
最初使我得到很深的印象的是皮亞諾對付這些困難的本領。
但是須待很多年之後我才得到這個新觀點的全部結論。在數學中想出「類」來是方便的。有一個長的時期，我以為把類和命題函項加以區別是必須的。可是，我最後得到的結論是，除非是一種技術上的手段，這種區別是不必要的。「命題函項」這種話聽起來也許可怕，卻無怕的必要。有很多時候我們可以用「特性」這個字來代替。所以我們可以