當我妻子和平吶喊的聲音越來越遠之後，我請這個陌生人坐下，靠近他，以便能更近距離地觀察他。他的外表讓我驚呆了。雖然他的表面沒有一絲角度的痕迹，但他體表的亮度和大小每一刻都在不停的變化，我從沒見過這樣的圖形。突然一瞬間我腦海里閃過一個念頭：有沒有可能他是一個小偷或者殺人犯，一個兇惡的等腰三角形，裝出一個圓的聲音與我說話。他不知道用什麼方法進到我的屋子裡來，沒準現在正用他尖銳的角對準我，隨時準備給我來那麼一下。
在客廳里，由於這個季節很乾燥，霧氣已經消失，這讓我更加難以相信眼前的一切，尤其是我站在離他這麼近的距離。我內心充滿了恐懼，我不顧一切唐突地沖向他，要去觸摸他。「先生，請允許我……」我的妻子是對的，他的身上一個角也沒有，非常光滑和均勻——終其一生我也沒有見過比這再完美的圓了。我從他的眼睛開始，圍著他繞了一圈，他絲毫沒有動彈，渾身上下都是那樣完美的圓，毫無疑問。然後我倆開始了對話，我會盡全力憑藉記憶記錄在後面，只是必須要省略掉我滔滔不絕的道歉——因為當時我沉浸在羞愧當中。我，一個小小的正方形，應當為魯莽地去觸摸一個完美的圓而自責。陌生人由於我一直的觸摸已經開始感到不耐煩了，首先向我發問。
陌生人：「現在你總算觸摸完了吧？難道你還不打算向我介紹你自己嗎？」
我：「尊敬的閣下，請原諒我的笨拙，但這並不是由於我輕視禮數，單純是因為您的突然到訪給我帶來的驚訝和緊張。我請求您，請不要向別人透露我的失態，特別是我的妻子。在您和我繼續交談之前，您可否屈尊滿足一下我這個一家之主的好奇之心，讓他知道他的尊貴訪客來自什麼地方？」
陌生人：「從空間中，從空間中，閣下。還能是哪兒呢？」
我：「請原諒我，閣下。可您難道不是已經在空間里了嗎？您和在下此時此刻就在空間之中啊。」
陌生人：「呵！你知道什麼是空間？你能定義它嗎？」
我：「空間就是高度和寬度的無限延伸，閣下。」
陌生人：「你完全不知道空間是什麼。你以為空間只有兩個維度，但我到這裡來就是為了告訴你，空間有三個維度：高度，寬度和長度。」
我：「閣下真愛開玩笑。我們有時也會說長度和高度，或寬度和厚度，但那四個名字都只表示兩個維度。」
陌生人：「我不是指兩個維度的不同名字，而是三個維度。三個！」
我：「我不知道有第三個維度，閣下您可以向我展示或者解釋一下這第三個維度是在哪個方向嗎？」
陌生人：「我正是從那個方向來的。從上面到下面。」
我：「閣下的意思似乎是南面和北面？」
陌生人：「我不是那種意思。我指的是從你的眼睛看不到的方向。因為你的側面並沒有眼睛。」
我：「閣下，您仔細看一下就會發現，我側邊的交界處都有發光點。」
陌生人：「是的，我看到了。但你的眼睛必須長在側面，而不是邊長上，才能看到在空間中發生的事情。確切的說，是我們空間中所說的側面，在你們來看可能是內部。」
我：「在我身體內部的眼睛？甚至在我的胃裡？閣下您可真會開玩笑！」
陌生人：「我沒有開玩笑。我告訴過你，我來自空間。鑒於你還不明白空間是什麼，我還是這樣說吧。我來自一個三維的國度，你所謂的空間不過是我向下俯視看到的一個平面。從那個位置看來，你們所謂的立方體（就是你們所謂的四條邊圍起來的圖形）、房子、教堂、保險柜，甚至你們的身體和胃，在我看來一覽無餘。」
我：「隨便說說總是很容易的，閣下。」
陌生人：「你想說這種事情證明起來不那麼簡單，而我正打算這麼做。當我降落到這裡，我看見你的四個五邊形兒子，每個都在他們自己的房間里。我還看見你的兩個六邊形孫子，你最小的那個孫子和你呆了一會兒，然後回到他的房間里，只剩下你和你的妻子在一起。我還看見你的三個等腰三角形僕人，晚飯時在廚房，小侍童在洗碗槽哪裡。然後我就來了，你以為我是怎麼來的？」
我：「我覺得是通過屋頂。」
陌生人：「並不是。你應該記得很清楚你最近剛修過屋頂。屋頂上沒有洞，甚至連一個女人都鑽不進來。我告訴過你我從空間中來，我都告訴你房間里的事情和你家人的情況，你還不相信我嗎？」
我：「閣下，您有那麼多渠道獲得信息，總有辦法從在下的鄰居口中得到這些情報的。」
陌生人：「（自言自語）我該怎麼辦？堅持，堅持。我想到一個辦法：當你看到一條直線的時候，比如你的妻子，你認為她有幾維？」
我：「閣下您似乎把我看成了一個不懂數學的莽夫，以為我會把女人看作一根只有一維的直線。不，不，閣下，我們四邊形是受過教育的。我們和您一樣清楚，有的時候被稱作線段的女人，如果用科學的眼光去看她們，其實是非常非常纖細的多邊形：所以她們是兩維的，和我們一樣擁有寬度和長度（或說厚度）。」
陌生人：「那麼正是由於她們可以被看見，所以她們實際上擁有另一個維度。」
我：「閣下，我剛才已經說了，女人既有長度也有寬度。我們可以看見她們的長度，也可以推斷出她們有寬度，儘管寬度十分小，但是可以測量出來的。」
陌生人：「你沒明白。我的意思是你看見了一個女人，你除了看見她的長度，推斷出她有寬度之外，還應該『看見』她的高度，儘管這個維度在你們的國家裡幾乎是無窮小。如果一條直線僅僅只有長度而沒有高度的話，它就不可能佔據一定的空間，也就不可能被看見。你確定你明白這一點了嗎？」
我：「我必須承認，最後這一點我確實並不明白。在平面國中，我們看見一條直線，實際上我們看見的是長度和亮度。如果亮光消失了，這條直線就消失了，也就是像您說的那樣消失在空間當中。我能理解閣下您所說的另一個維度，也就是高度，實際上是我們所說的亮度嗎？」
陌生人：「不，完全不是。高度是一個像長度一樣的維度，只不過你們很難察覺到它的存在，因為確實非常小。」
我：「閣下，您的說法很容易驗證。您說有第三個維度叫做高度，維度意味著有方向以及可以被測量，那麼請您測量一下我的高度，或者僅僅給我指一下我的高度是沿什麼方向的，我就會完全相信您。否則請原諒，我不能接受您的解釋。」
陌生人：「（自言自語）兩樣我都做不到，到底我該怎樣說服他？一個簡單的陳述之後只要能讓他親眼看一看就足夠了。——現在請聽我說：你生活在一個平面之內，你們所生活的平面國是一個巨大的平面，我們管它叫流體。你和你們居民在這個平面上移動，不會上升也不會下沉。
「我並不是一個平面圖形，而是立體的。你認為我是一個圓，但其實我並不是。我是無窮多個直徑從0到13英寸的圓，一個圓疊在另一個上面。當我切入你們的平面的時候，我的橫截面就是一個圓。一個球——這是我在我們國家的名稱——如果想把自己展示給平面國的居民，那就必須是以一個圓的樣子。
「你還記得嗎？我可以看見所有事情，所以我能看見你腦中留下的直線國的幻影。你還記得當你進入直線國的時候，你在直線國王的面前是一條直線，而不是一個正方形。因為直線國沒有足夠的維度容得下你的全部身體，你只能以截線的形式出現在直線國里。正是由於同樣的原因，你們二維國家也容不下三維的我，你只能看見我的橫截面，也就是一個圓。
「你的亮度變小了，你在懷疑。現在請聽我的解釋。確實，你只能看見我的一個橫截面，因為你不能把你的眼睛從你們的平面升起。但在我從平面上升起的時候你起碼能看見我的截面在變小。看著，我正在上升，你眼中的我會越來越小，直到收縮成一個點，最終消失。」
我並沒有看見「上升」的過程，但他確實在變小，最終消失。我眨了幾下眼睛，確認是否在做夢。這不是夢。從未知的深處傳來空洞的聲音——彷彿就在我的胸中——「我全部離開了嗎？你現在還不肯相信？好，我現在將會一點點回到你的平面，然後你將會看到我變得越來越大。」
每一個活在空間中的讀者都會很輕鬆的明白我那神秘的訪客說的是實話，是明顯的事實。儘管我精通平面國里的數學，但對我來說明白這一點也不是一件容易的事情。一個粗略的示意圖可以很明白地向空間中的孩童解釋，一個球像圖中那樣上升，從我或者是其他平面國居民的角度來看，都是一個圓。一開始這個圓是最大的，然後變小，最後逐漸變成一個點。儘管我能夠看見這一事實，但對我來說其原因仍然一如既往地隱藏在黑暗之中。我所能理解的就是：這個訪客，這個圓，把他自己變得越來越小