現在我將不再東一榔頭西一棒子地敘述平面國的事情，講講本書的核心問題，我對於空間奧秘的探索。這才是我的主題；之前所說的一切都僅僅是鋪墊。
為此，我必須省略很多細節的東西，而我自詡讀者肯定會對這些問題很感興趣；比如，我們沒有腳，是怎樣讓自己腳步往前或是停住呢；我們沒有手，也不能打地基，也不能藉助地心引力，是怎樣固定木頭、石頭、或是磚的呢；雨水是怎樣從北部區域掉落到南部而不被攔截，在我們的各個區域間的縫隙中降落的呢；我們的山丘和礦石，樹木和蔬菜，我們的季節與收穫都是什麼情況；我們的字母是什麼，我們怎樣在線性便簽上寫字；所有的這些以及其他數百種有關這個世界存在的細節，我不會一一列出，也必須要跳過不說了。我要告訴讀者的是，不提這些不是因為作者健忘，而是出於時間關係的考慮。
然而，在我開始討論正題前，讀者朋友們無疑也會期待我說一下平面國憲法的根基和支柱，控制我們的行為、塑造我們的命運的人，大眾崇敬和愛戴的對象：不用我說，你們都應該知道，就是我們的圓或祭司吧？
我們這裡的祭司和你們那裡的不一樣。對我們而言，祭司管理所有的一切社會事務：商業、藝術和科學；統領貿易、商務、軍事、建築、工程、教育、政治、立法、道德、神學。他們自己什麼都不做，他們是一切事情有價值的原因，這些事情都由別人來做。
雖然大家普遍稱他們為圓，也把他們當作圓，但受過良好教育的人都知道，沒有哪個圓是個真正的圓，只不過是邊的數量非常多，邊長非常短。隨著邊數逐漸增加，多邊形也近似於圓；當邊數非常多時，比方說三四百條，即使是最敏感的手也很難觸摸出多邊形的角度，可以說，肯定會很困難：正如我在上面已經提到的，高級社會沒有觸摸辨認的能力，況且，觸摸圓會被認為是以下犯上最無禮的行為。上層社會對觸摸的禁止，使得圓更容易保持神秘。在這種神秘色彩的掩蓋下，他從年幼開始，就會隱藏自己周長的確切數字。通常情況下，三百條邊的多邊形平均周長是三英尺，邊長不超過0.01英尺或是稍稍多於0.1英寸。有六七百條邊的多邊形的邊長可能就和空間國中的針尖直徑一樣長度。我們總是出於禮貌假設，首領圓目前已經有一萬條邊。
只要圓是規則圖形，在社會階層中的上升就沒有限制，而自然法則規定，下一代只比上一代多一條邊。如果是這樣，那麼圓的邊數只是血統和算術問題，一個等邊三角形的第四百九十七屆後代必然是一個有著五百條邊的多邊形。但是事實不是這樣。自然法則有著兩個對立的規定，影響著圓的後代繁衍：第一，等級越高，上升速度越快；第二，等級越高，相應的後代繁衍能力越低。因此，四五百條邊的多邊形家庭就很難生出一個兒子，有一個孩子以上更是少之又少。另外，一個五百條邊的多邊形的兒子有五百五十條邊，甚至六百條邊。
高等級人群的發展中，也有藝術的身影。我們的醫生已經發現，高等級的多邊形嬰兒的小而柔嫩的邊可能會斷裂，整個框架可能會重新組合，精確來說，兩三百條邊的多邊形——也不是必然趨勢，因為這個過程伴隨有嚴重風險——有時會跳躍兩三百代，一下子邊長就翻倍，他的細胞數量迅速增加，他的貴族血統地位當然也隨之增加。
許多有前途的孩子都以這種方式犧牲了。存活率幾乎小於十分之一。然而，那些多邊形的父母都是那麼雄心勃勃，因為他們在圓階層的邊緣，要實現貴族社會中的地位非常難，所以小孩不足月時，不是好好照顧他，而是把他送到了圓的新理療醫院。
一年就能決定成敗。一年後孩子可能已經夭折，圓的新理療醫院的公墓堆會再增加一個；但在極少數情況下，醫護人員會高興地把小傢伙送回給狂喜的父母：小傢伙不再是一個多邊形，而是一個邊數較多的近似圓。概率極小的一個幸運結果使得成千上萬多邊形父母們前仆後繼，犧牲自己小孩的命運，把他們送到醫院，期待不一樣的結果。