↓1.到月亮上遠足的計畫、仍然是幾何學。
↓2.一個腦袋的肖像、相似的條件。
↓3.墨漬和相似圖形、要構建一個相似的幾何圖形無需知道太多細節。
↓4.將這一原理運用來測量不可能到達的距離、塔與河。
↓5.角直徑、測量一座我們不能到達的塔的實際直徑。
↓6.測量地球到月球之間的距離。
↓7.對於這一距離的相關比較。
↓8.角直徑與月亮的實際直徑。
↓9.周長與體積。
↓1.當月亮掠過一朵朵雲彩，彷彿在天空中飛速奔跑時，誰不曾追著它看？當雲彩向著月亮靠近，它就會被白色的月光浸沒，就像一團銀色的羊毛，當雲彩靠得更近時，它就會變得越來越厚、越來越暗，到了最後，月亮就會被那些移動的帷幕遮住。有時，我們會在那不均勻的霧幔後面看到一圈模糊的光暈露出來，但天空中有時會出現一片晴朗的地方，於是月亮又會清清楚楚地完整出現，從天空中好奇地看著我們，於是就會有無數個問題出現在我們腦海里了。我們困惑地看到月亮上有人形肖像，那它究竟是一顆什麼樣的星星？夜裡在這樣一個寒冷的地方，它在那裡做什麼呢？人們認為，它在和它的鄰居地球玩捉迷藏的遊戲。為了滿足你們的好奇心，讓我們一起到月球上徒步旅行吧！讓科學當我們的引路人。你們準備好了嗎？開始出發了。等一下，我弄錯了。作為謹慎的旅行者，首先應該要說明我們需要走的路程。在你沒有知道路程的長短之前，我們是不會進行一次如此遙遠的探險的，因此，我們要測量一下地球到月亮的距離。要測量一下地球到月亮的距離？這是不可能的，誰能夠拿著米尺一步一步地去測量連接地球與月亮之間的直線呢？誰敢自詡能夠跨過空間中的這段距離，一腳踏在地球上，另一腳踏在月亮上，在這兩個星球之間拉起一根測量的繩子？幾何學家能夠創造出這樣的奇蹟來。幾何學家能夠藉助於角與直線的簡單組合，告訴我們不可到達的物體的大小和到我們的距離。你們可能想知道，他們是怎樣用最基本的東西、以最巧妙的辦法來測量那不可測量的距離呢？這種高妙的方法是人類智慧中最傑出的觀念之一。為了研究一下這種方法，我們先將將旅行推遲一段時間。當你們親眼看到實際去測量地球到月亮之間的距離是可能的、而不是簡單接受那些你們所引用的數據的時候，你們會有一種滿足感。通過記憶去學習是一件很好的事情，但是理解卻看得更加清楚明白，因此它是更好的事情。
↓2.給你們一個需要臨摹的原圖或是一個人的腦袋作為模型，你們可以描摹得和模型一樣大，或者比它們大一些，也可以比它小一些，但不管怎樣，最重要的是描畫得跟原物相像，這一點是再清楚不過的了。這是已經畫出來的鼻子，你們畫出來的鼻子只有模型鼻子的一半大，對此我沒什麼可說的，只要畫的比例協調就行。下面來畫嘴，既然鼻子小了一半，那麼很明顯，嘴也要小一半！眼睛、耳朵、下巴、捲曲的頭髮，所有這些是不是都應該比原物小上一半！倘若在巨大的眼睛下邊有一個小小的鼻子，或是在一張大嘴的下邊有一個小小的下巴，你們——稍微看一下就會知道什麼後果。你們畫的不再是相像的臨摹畫，而是一幅難看的漫畫。堅持這樣畫是沒有用的：你們明白，既然一開始你們已經將這幅畫中的鼻子縮小了兩倍，那麼，為了描摹得相似，眼睛、嘴巴、下巴等也要縮小；相反，如果你們一開始的時候就把鼻子擴大了兩倍，那麼畫中的其他部位也要比模型中的相應部位擴大兩倍。這一原則對於畫圖來說是沒有爭議的，這一點也同樣適用於幾何圖形。其實我們應該說這一原則適用於一切情況：在相似的圖畫中，相對應的各部分之間的比例是相同的。
要使得圖畫相似，僅僅使不同的線段之間比例保持相同還是不夠的，還需要其他的條件。假設你要畫一個類似於圖43中ABCDH的幾何圖形，但是大小要縮小一半。你們先作線段ab，使它的長度是線段AB長度的一半；然後作線段bc，使它的長度是線段BC長度的一半；再作線段cd，使它長度是線段CD長度的一半；最後作線段dh，使它長度的線段DH長度的一半。如圖44所示。我們看到，相對應的不同線段之間的比例是相同的。但是，我們模仿出來的圖畫仍然跟原畫並不相似。那麼，為什麼我們的模仿像是缺少了點什麼東西呢？那是因為，我們並沒有考慮角與角之間的相等。在作畫的過程中，我並沒有注意到這一點。我們再重新畫一幅，並且仔細地畫。在模仿圖形中，使得對應的角都與原圖中的角相等。我們作一個線段a′b′，使得它的長度是AB的一半，如圖45所示，然後在點b′作一個角，使它的大小正好等於原圖中相對應的角的大小，這樣一直畫下去，就能得到一個與原先圖形相似的圖形a′b′c′d′h′。因此我們可以說：在相似的幾何圖形中，相對應的線段之間的比例是相同的，相對應的角是相等的。
↓3.要根據一個眼前的模型畫出一個腦袋、一幅風景或其他的什麼東西，那麼，我們必須要看到這個模型的所有部分，倘若這個模型的某個部位被一攤墨漬蓋住了，那麼，你還能如實完整地模仿出這個模型嗎？——當然不能，為了描摹一幅畫，首先應該觀察這幅畫，它所缺少的部位、不為我們所知的部位，都是不能被模仿的，這是顯而易見的事情。但由於幾何圖形非常簡單，所以幾何圖形是一個非常明顯的例外。儘管原圖的有些部位看不清楚、不為我們所知，但它還是可以被精確地模仿出來。我們用下面的一個例子來證明這一點。如圖46中，我們要模仿一個多邊形ABCD，要把它的大小縮三倍。假如原圖就像圖46中的圖一樣是完整的，那麼我們所要做的縮小工作並沒有什麼需要特別注意的地方。但是請你們想像一下，假如它被一攤墨漬弄髒了，就像圖47中那樣，角A就被遮住了，而邊AB與邊AD有多長，我們也看不到了。這樣，根據這樣一幅不完整的圖形，我們還能作出一幅跟原圖相似的模仿圖來嗎？這幅原圖我們從來沒見過呀？我們來試著作一下：我先作一個角c，使它與原圖中相對應的角C相等，如圖48所示；再沿著該角的兩邊，作線段cd和cb，使得它們的長度分別是線段CD和CB的三分之一，然後在b點處，再模一個與相對應的角B相等的角，由此得到一條無限長的直線bx；同樣的，我在d點作一個與角D相等的角，由此得到一條無限長的直線dy，這兩條直線bx與dy在點a處相交，於是一個完整的滿足要求的圖就被摹仿出來了。由此可見，在作圖的過程中，我們不需要添加什麼東西，也不需要考慮我們不知道其大小的角a以及邊BA與DA的長度。這樣，我們就完成了這個模仿圖，這個圖形是獨立完成的，沒有任何的隨意性，也沒有任何取決於我們選擇的因素，這個圖形是按照原圖嚴格地作出來的，不存在任何其他可能的構造方式。因此，要作一個與某個幾何圖形相類似的圖形，沒有必要了解這個模型圖形的所有細節，只要你知道關於這個模型圖形的知識能夠使繪圖到達某個點的時候，它就能自然而然地完成就行。
↓4.現在我們就將這個富有成效的原理應用到下一個問題之中。如圖49所示，我們位於A點，有一條河將我們與塔C分開，而我們不能跨過這條河。我們想要測量我們與塔之間距離AC的長度以及塔的寬度。為了達到這個目標，在我們這一側的河邊，我們在任意一點比如說B點豎起一根杆子，我們直接用米尺或捲尺來測量一下線段AB的長度，並把線段AB稱為底邊，我假設它的長度是70米。然後我們在點A處放置一個經緯儀，測得角CAB的大小是52度。最後，我們將該經緯儀移到點B，來測量角CBA的大小，假定它是40度。
根據這些測量，我們獲得三角形CAB中兩個角即角A與角B的大小以及三條邊中的一條邊即邊AB的長度，角C的大小與另外兩條邊AC與BC的長度，我們是不知道的，但這並不是因為它們被墨汁覆蓋住我們才不知道，而且是因為河的阻攔，它比墨汁覆蓋更加令人沮喪，因為它使得我們不能從河的這邊走到河的那邊去測量離塔的距離。如果我們不管墨汁的覆蓋，能夠作出一個相似的圖形來，那麼，河這個障礙物就不能妨礙我們在紙上如實地描摹出和三角形ABC相似的圖形，儘管我們對三角形ABC只知道其中一半。我們在紙上畫一條線段ab，使它的長度為70毫米，如圖50所示，線段ab代表的是圖49中那條在地上測量出來的70米長的底邊AB，然後在點a處作一個52度的角，在點b處作一個40度的角，使得這兩條直線相交於點c。由此我們就完成了這個圖，這個圖是自然而然完成的，因此它與地上的原型是嚴格相似的，既然如此，那麼它們對應的邊之間的大小比例是相同的，只不過ab的長度是70毫米，而AB的長度是70米。因此，AC的長度是多少米，那麼知道ac的長度是多少毫米就足夠