↓1.對天空的測量與幾何學。
↓2.角、垂直與傾斜。
↓3.銳角、鈍角與直角。
↓4.圓周、半徑、直徑、弧、圓周刻度。
↓5.量角器、角的測量、經緯儀。
↓6.多邊形的外角和、實驗與理論證明。
↓7.三角形、三角形的三角之和、實驗與理論證明。
↓8.不同類別的三角形、直角三角形的兩銳角之和。
（以上條目中的阿拉伯數字指的是涉及這些範疇的段落數，在正文中已經標明。）
↓1.從外表上看，天空就是一個巨大的穹頂。白天，陽光燦爛，天空是藍色的；到了晚上，天空就會變黑，有無數閃閃發光的星星。但科學告訴我們，這些表象都是假的：我們並沒有被什麼穹頂覆蓋。無論是在我們的腳下還是頭頂，是在左邊還是右邊，空間都無限遼闊，沒有邊界。天空中有無數顆巨大的星體，但由於我們認識有限，只能看到那些最耀眼的部分。隨著視野的擴展，空間也會不斷擴大，只有神祇才知道它的中心和邊界，只有神祇的眼睛才能洞穿這一切。地球徜徉在無限之中，就像太陽光線照射下的一粒灰塵，在巨大的宇宙中顯得微不足道。但是，為了洞悉宇宙的無限，為了把握天空中各星體之間的距離，知道它們究竟有多宏偉，我們需要幾何學的幫助。我認為幾何學是一門艱深的科學，而且不會引起年輕人濃厚的興趣。但我向你們保證，你們不會被深奧的理論搞得筋疲力盡，通常這些理論已經超出了你們的學習能力。只要一些非常基礎的理論解釋就已經足夠了。如果一些枯燥的幾何學章節讓你們氣餒，那麼你們要堅持住，要有勇氣來應對它，因為這些問題是值得我們付出努力的，測量天空、探測宇宙，孩子們，你們覺得怎麼樣？這些是否值得引起你幾分鐘的關注呢？下面我開始講課。
↓2.兩條相交直線構成一個開口，不管大也好小也好，都是我們所說的角。兩條直線相交的點就是角的頂點，兩條直線是角的兩條邊。比如說，兩條直線AB和AC相交於A點，這兩條直線相互交叉，發散出去，那麼這兩條直線中間構成的面就是角，如圖1所示。在圖1中，點A就是角的頂點，而AB和AC是角的兩條邊。為了指稱一個角，我們在角的兩邊標出三個字母，表示頂點的字母總是位於中間的。因此角BAC和角CAB是同一個角，但與角ABC則不同。當指稱的角非常明確時，我們只要用頂點字母表示角即可，如角A。我們同樣還可以在角的開口處標出一個數字，以此來指稱角。
直線的性質是沒有端點，因為我們總是可以無限延伸它。因此角的大小不取決於邊的長度，邊既可以是長的，也可以是短的，這並不重要，除非兩條直線之間的傾斜度變了：角的大小隻取決於兩條線的傾斜度。如圖2所示，角BAC和角HDK，當它們兩邊的傾斜度相等時，則兩角相等，不管它們各自兩邊的長度是多少。畢竟，角BAC的兩邊可以延伸到與角HDK的兩邊長度相等，甚至超過它們，這點是不可否認的，因為直線沒有端點，圖形中的直線都可以無限延伸。
↓3.如圖3所示，假設直線DC與另一直線相交。由此構成了兩個角：一個小角BAC，一個大角DAB。小一點的角叫做銳角，而大一點的角叫做鈍角。
假如直線BA慢慢地直立起來，那麼銳角將會變大，鈍角將會變小。最終，直線BA到達一個完美的垂直點，以直線DC作為基線，既不向左傾斜，也不向右傾斜，如圖4所示。也就是說，在這時角BAC和角BAD是相等的。由此我們稱BA垂直於DC，這兩個相等的角都是直角。一切不垂直的直線都稱作斜線。
在圖3中，很明顯，BA傾斜於DC。我們可以改變斜線的傾斜度，由此使銳角和鈍角的大小發生變化。所以，存在著很多銳角，它們大小不一，同樣也有很多大小不等的鈍角。不過，對於直角來說角的大小是一定的，因為使直線AB既不偏向於DC一邊、又不偏向於另一邊，這樣的地方只有一個。由此，直角的大小是不變的；銳角大小是有變化的，但它永遠小於直角；鈍角大小同樣也會變，但它永遠大於直角。
↓4.圓規上的一個動點所畫出的弧線，我們稱為圓周，圓規上另一點是一個定點，我們稱為圓心。我們還將圓周稱為圓。如圖5所示，從圓心到圓周的線段OA，就是半徑。很明顯，同一個圓存在著無數的半徑，所有半徑長度都是相等的，因為所有半徑的長度都是畫出圓周線的這兩點之間的距離。在圖5中，BC經過圓心，它的兩個端點處於圓周上，BC就是圓的直徑。直徑長是半徑長的兩倍，直徑將圓周分割成兩個相等的部分。圓周上的任意一部分叫做弧，如弧HK。
我們將整個圓周分成360等份，每份叫做1度；每度再分成60等份，每份叫做1分；每分再分成60等份，每份叫做1秒。因此可以稱一個圓周角有360度、21600分、1296000秒。
圓的度數並不以米作為計量單位，圓的度數所指的是整個圓上的一段弧。比如說，我們說90度的一個弧，指的是三百六十等份的圓周中的九十份，或說圓周的四分之一。圓的度數與長度沒有任何關係。圓弧可長可短，這取決於它所在圓的圓周長的大小，但它的度數大小卻可以保持不變。如圖6所示，圖中有三個同心圓，圓心是O。我們通過圓心O作兩條直線AB和DC，使這兩條直線垂直相交，即直線AB和DC互相垂直。這樣，這三個圓都被分成四等份。這樣我們看到，弧AC、HK和VP，它們儘管長度不同，但度數卻相同，都是90度，因為它們都是所在圓周長的四分之一。
↓5.量角器是一個半圓形的透明角質儀器，上面標有一系列刻度。在量角器的底端刻有直徑。從直徑的一端開始，刻度從0依次排列到180，總共是整圓的一半，即360度的一半。量角器用來測量平面紙上角的大小。
比如，在圖7中，為了求得角BAC的大小，我們可以將量角器放在角上，使它的中心置於角的頂點A上，並使量角器的直徑與角的一邊AC重合。然後，我們讀出角的另一邊與量角器重合的部分，如圖7中所示，它指在50度的刻度上。由此我們知道，角BAC是50度。直角的度數永遠都是90度，即圓周度數的四分之一。銳角永遠小於90度，而鈍角永遠大於90度。
對於天文觀測者來說，他們使用的是非常大的銅製量角器。它的下面有一個三角支架作支撐，我們將這種量角器稱作經緯儀，如圖8所示。在這種經緯儀上，我們可以讀出角的分值，甚至可以讀出秒值，只要這個標有刻度的半圓面積足夠大。經緯儀上配有兩個望遠鏡：一個是固定的，它的觀察方向是沿著經緯儀直徑來看的；另一個望遠鏡則可以繞著儀器中心上的軸來轉動。我們要測量太空中一個角的大小，先要將經緯儀置於角的頂點，然後將固定的望遠鏡調整到其中一條邊的方向，最後，我們根據角另一邊的位置來轉動可活動的望遠鏡。這時只要讀出夾在兩個望遠鏡之間的在經緯儀邊緣上的刻度數就可以了。
↓6.由多條直線組成、並且每兩條直線都相互交叉，這樣構成的圖形即是多邊形。如果多邊形僅由三條直線構成，那它就是三角形；如果它由四條、五條、六條或更多條直線構成，那它則相應地就是四邊形、五邊形、六邊形等等。多邊形可以具有無數種不同的形狀：它可以由任意數量的邊構成，可大可小，在外形上可以是很不規則的，也可以是非常規則的。不過，儘管它可以千變萬化，但在幾何圖形上的特徵卻是永遠不會變的，我們在下文中將會闡明這一點。
我們在紙上即興畫出任意一個多邊形，比如多邊形ABCDH，如圖9所示。假設我們按同一個方向旋轉、依次來延伸這個多邊形的每條邊，如圖10所示。由此我們得到了一組角，即角1、2、3、4和5，我們將這些角稱為多邊形的外角。這時我們試著用剪刀將這些角剪下來，然後將它們圍繞著一個頂點A並列地放到一起，如圖11所示。那麼，請你們記住這一點：不論這個多邊形是什麼樣的形狀，不論它有多少條邊，這些角總能構成完整的一個圓周，最後一個角總能恰好填充第一個角和倒數第二個角之間的空位，由此各角互相銜接，構成一整個圓周。如果我們以點A為中心畫一個圓，那麼顯而易見，圍繞著點A整合構成的這個沒有任何間隙的角就環抱成了一個整圓。如圖11所示。由此，我們得出，任意多邊形的外角和都是360度。
這就是多邊形的一個奇特屬性，我希望你們親自驗證這一結論。可以在紙上畫出不同的多邊形，將多邊形的外角剪下來，然後以一個點為公共點重新合併在一起。我們稍微思索一下也可以得到這樣一個結論。請重新觀察圖10，在圖中，多邊形的外角1、2、3、4、5，它們都朝向我們所畫的圖形所在平面的一個特殊區域，從整體上這些外角包含了經過這一平面的所有的方向。因此，如果我