在20世紀70年代，薩繆爾森和默頓在許多雜誌上發表方程式來證明幾何平均數最大化原則的錯誤。他們的嚴謹和博學讓很多他們擔心會受凱利「謬論」欺騙的投資組合經理人、金融分析師和投資者接受了他們的觀點。
薩繆爾森和默頓的論證要點不難理解。下面我將試著用一幅圖來呈現，見圖4-4。
這幅圖將凱利準則比作一台彈球機。這裡的美元金額代表你對一場非常有利的拋硬幣賭博活動所下的賭注。如果人頭朝上，你可以拿回6倍賭金，背面朝上即為輸。
下注者的勝率高達200%（每投入1美元，你都有50%的機會獲得6美元，其價值即為3美元。下注1美元的平均收益為2美元，或者初始賭金的200%）。賭博的賠率為5：1。那就是說根據凱利公式「勝率/賠率」，結果是2/5或者40%，即凱利賭徒需要投入資金總額的40%。
一旦你開始賭博，會發生什麼事呢？
圖4-4顯示了前4次拋擲可能發生的所有情況。從最上方開始，你的起始資金為100美元，你拿出40%——根據凱利下注法——然後拋硬幣。
從100美元資金處向下引出兩條對角線，代表第一次拋擲可能出現的兩種結果。要麼你輸掉這40美元（還剩60美元），要麼你贏了，獲得6倍賭金（加上沒動的60美元，你一共獲得300美元）。
第二次拋擲時，你必須調整賭金，保持下注金額為現在資金總額的40%。第一次拋擲產生的兩種不同的結果還會導致兩種不同的情況。請注意一下路徑的發散和收縮。第二次拋擲後要獲得180美元有兩條不同的路徑。
不斷擴大的概率網路就像對量子論的解釋一樣，每個隨機事件都會將世界分解成兩個平行的宇宙。第四次拋擲時，共有16個不同的平行宇宙，對應人頭朝上和背面朝上兩種情況可能產生的每種結果。圖4-4以彈球機的形式對此加以說明。每個球代表了從上到下16條可能的之字形路線的一種。
底部的球槽代表4次拋擲後的最終財富。最右邊的球代表最幸運的情況，即4次皆勝的情況。這種情況下，你的最終財富會達到8100美元。
這是非常幸運的情況。通常來講，人頭朝上和背面朝上的結果都可能會出現。虛線構成的之字形路線代表的是出現的結果依次為背面、人頭、背面、背面的情況。這個球會和其他3個球一起掉進一個槽中，因為產生這一結果共有4條不同的路線，最後價值為64.80美元。
結果出現3次人頭和1次背面的情況也有4個平行宇宙，創造的財富值為1620美元。
結果為2次人頭和2次背面的情況一共有6條路線。這是「運氣平平」的情況，也是最常見的結果。4次賭博後，100美元初始賭金變成了324美元。
最糟糕的結果就是4次皆輸，最終資金總額只剩下12.96美元。
大多數人對上述這些結果都感到有些不安。最佳情況和最糟情況之間的差別如此巨大。在這16種結果中，有5種情況會讓你的最終財富少於初始資金，而且是在4次如此有利的賭博情況下。
16種結果中，有1種結果是你的最終資金遠遠少於初始資金，所以凱利對避免破產的保證從某種程度上講是空洞的。好吧，至少你沒有輸掉所有錢。你仍然有1/16的機會在4次不幸的賭博後輸掉87%的資金。
凱利系統導致的財富分布（不同情況下或者平行宇宙中）就像曼哈頓的財富分布一樣，存在貧富兩極分化的情況，中產階級比你想像的少得多。
或許是時候回顧一下精靈的承諾了。在16種可能出現的結果中，幾何平均收益為324美元。沒有任何一種資金管理系統的幾何平均收益值能夠超過凱利系統。
這很好。凱利準則的另一個優點就是將財富中值最大化。中值是統計學測量值，對一系列數值進行排序，從低到高，選出最中間的那個數值即為中值。中值很受房產中介追捧，而且在曼哈頓這種地方是不可或缺的，因為物價差異太大。
在這裡，財富中值也是324美元，這比其他任何系統所達到的中值都要高。
凱利系統無法做到的就是掌控運氣。在運用凱利系統時，如果運氣不佳，會導致最終財富值低於中值。如果發生這種情況，那麼你可能會比運用其他系統獲得的結果更糟。
希臘語的第五個字母「ε」代表一個任意小的量（非數學界人士或許會稱其為一個「iota」）。薩繆爾森在一篇文章的結尾評論道：「格特魯德·斯泰因從未說過這句話：ε不等於『0』。」換言之，凱利的信奉者錯誤地以為微小的（ε）破產風險值可以被當作零風險一樣忽略不計。如果使用優質的降落傘從飛機上跳下來，幾乎可以確定你能安全著陸。那麼，為什麼不是所有人都玩這種刺激的跳傘運動呢？答案是，人們對風險的承受力不同。出現大災難的概率很微小，但結果可能是非常突出的，而不是0。膽小鬼愛麗絲可能會理性地拒絕跳傘，即使她知道出現偏差的可能性「幾乎為零」。
謬論的錯誤之處正在於這種可能導致災難的微小概率。有很多更溫和的資金管理模式可以比凱利準則更好地處理運氣不佳的情況。當然，它們的平均複合收益也會較低。
為了保持圖尺寸的合理性，我只繪製了4次賭博的結果。那麼，長期來看情況會更好嗎？
是，也不是。產出結果的中值隨著時間呈指數增加，這是好的方面。因為很多資金管理系統在最幸運情況除外的其他情況下都導致了破產。也有其他一些系統避免了破產，但獲得的收益遠遠低於凱利系統。凱利系統對其他任何競爭系統的優勢隨著時間變得越來越明顯。
從另一個層面來看，長遠的效果並沒有更好。隨著時間推進，不同情況下貧富兩極分化越來越嚴重。富人變得更富，而窮人變得更窮。