告訴投資者們去實現最大幾何平均數可能會讓他們恍然大悟。收益的幾何平均數與華爾街通常使用的「複合投資收益」方法別無二致。所有人一直以來都在討論這個問題。
拉塔內在北卡羅來納大學的同事理查德W.麥科恩納利（Richard W.Mally）注意到，「『我們應該選擇投資組合增值率最高的投資』這一想法和經濟學家提出的很多建議類似，聽來很值得稱讚，但在實踐中很難或者說根本不可能執行，因為需要對遙遠的未來有所了解。」
有一些實例可以向你展示幾何平均數原則的起效原理。簡單的情況：你有兩種投資選擇，一種儲蓄賬戶的利率是3%，另一種儲蓄賬戶利率是4%。兩種賬戶都受聯邦存款保險公司（FDIC）保障。由於不存在風險，因此每種方式收益的算數平均數和幾何平均數都相等。凱利和馬科維茨都會告訴你把錢存到利率為4%的賬戶中。
當涉及概率因素時，這樣選擇就不那麼恰當了。一隻熱門科技股的收益的算數平均數可能會高於低迷的藍籌股，但是波幅可能更大，這可能導致幾何平均數較低。那麼，買不買技術股呢？怎樣才是較為明智的做法？
凱利準則有潛力回答這類問題。我之所以用了「有潛力」這個字眼，是因為沒人真正了解股票投資暗含的各種潛在的可能性。
這並沒有妨礙分析師們編造目標數據和數學模型。有一個數學模型試圖將人們熟知的不完美的現實環境縮小為一場概率遊戲。
假設你正考慮投資3隻低價股。你做了大量的研究工作，並設計了一年之後股票收益的數學模型。原則上，你可以建造一個幸運輪盤，輪盤上的概率分布與股票相同。將輪輞分隔成你所需要的諸多分區。在這些分區上標上數字，代表在這隻股票上投資1美元一年之後所獲得的價值。如果你的模型有點用處的話，那麼玩這個幸運輪盤和投資股票的情況幾乎是一樣的。
讓我們假設你為3隻低價股分別建造了幸運輪盤，如圖4-2所示。
這些輪盤比任何人對一隻股票前景的理性預測都更加簡單，但能讓你明白大概意思。通過在輪盤上增加足夠分區，可以呈現出你對股票收益和收益概率的任何確切想法。
假設你必須把所有資金全部投入到一個輪盤當中，那麼哪個輪盤最好呢？這很難說。這就是為什麼說計算「平均」收益有用。有時候會出現這種情況：算數平均收益較大，佔據了主導地位，而幾何平均數則被忽視。
第三個輪盤的算數平均數最大。第一個輪盤的幾何平均數最大。假設你只有這3個備選，而且必須選擇其一，那麼凱利準則將會建議你把錢投入到第一個輪盤中。
根據凱利哲學，第二個輪盤是最糟糕的選擇。因為有一項產出結果為0。每次旋轉你都有可能會盡失一切。任何把資金放在第二個輪盤中的長線「投資者」最終一定會走向破產。第二個輪盤的幾何平均數為0。
那麼，均值方差分析是怎麼解釋的呢？為了回答這個問題，你必須計算出輪盤收益的方差。我幫你省了這個麻煩——三個輪盤的方差從左至右依次增加。算數平均收益值也是如此。因此，馬科維茨理論拒絕從這三個輪盤中做出選擇。因為選擇哪個都合理。能夠承受風險尋求最高收益的投資者可以選擇第三個輪盤。安全起見，寧願犧牲收益的保守投資者可以選擇第一個。對於立場介於二者之間的投資者來說，第二個也是不錯的選擇。
最後的這個建議讓人特別難以理解。大多數人會認為中間的輪盤風險最高，因為只有這個輪盤存在全部虧損的風險。但第二個輪盤的方差比第三個低，因為其產出結果更集中。這就是方差並不能很好評估風險的事例之一。
馬科維茨和凱利的方法之間一致認同的一點就是多樣化的價值。通過對每匹馬下注實現「多樣化」的賭馬者比將全部賭注押在一匹馬上的人（有損失所有賭金的風險）獲得的幾何平均收益值高。對於購買多隻股票實現多樣化的投資者也是如此。
對於投機者來說，有兩種方法可以應用大數定理。約翰·凱利在他的文章中對這兩種方法都有所提及。文章中，他無意涉及20世紀的性別問題，他只是描述了一個賭徒，他的妻子批准他每周可以進行1美元投注，而且不許他再用過去幾周贏的錢再次進行投注。
這個賭徒應該忽略凱利準則。他最好選擇算數平均收益值最高的賭博。因為這個懼內的賭徒獲得的利潤並沒有呈複合型增長，而只是簡單的累加。
這個賭徒最好選擇上述第三個輪盤，其算數平均數最高（$1.75）。賭博一年後，根據大數定理，賭徒的實際周收益將接近期望值。年底時，賭徒將會擁有1.75美元的52倍左右，即91美元（減去52美元總賭資，總利潤為39美元）。
如果這個每周投注1美元的賭徒選擇第一個輪盤，他將擁有78美元（利潤為26美元），如果選擇第二個輪盤，他可能會擁有87美元左右（利潤為35美元）。
只有當賭博利潤可以進行再投資時，凱利準則才能發揮作用。假設賭徒開始用1美元投注，然後每周利用贏得的錢進行再投資（他並不額外增加賭資，也不減少現有賭資），如果這個賭徒選擇第一個輪盤投注，他每周可以期待財富增加1.41倍。52周之後，他的財富將變成：
$1.41=$67108864
也就是，凱利的賭博者可以將1美元變成數千萬美元。對比一下其他兩個輪盤的情況。選擇第二個輪盤進行複合投資的賭博者預期收益為：
$0=$0
啊！這個賭徒一年賭下來幾乎可以確定最終財產為0！一旦發生這種情況，他就破產了。
如果選擇第三個輪盤，結果估算如下：
$1.22=$37877
上述數據都無法「保障」。大數定理並不是這樣發揮作用的。或多或少的幸運旋轉都會讓結果截然不同。幾乎可以肯定地說，第一個輪盤的收益要遠遠超出第三個，而任何連本帶利押注第二個輪盤的傻瓜最終都會破產。
標準的均值方差分析並未涉及複合投資問題。你或許會說這是專門為每周投注一美元的凱利賭徒設計的理論。但是，當通過複合投資而積累的財富值遠遠超出其他投資方法獲得的收益時，實用的投資理論在很大程度上都必須是再投資的理論。
當你嘗試將馬科維茨理論應用到複合投資中時，結果是荒謬的。愛德華·索普對凱利準則的歷史所做的一個理論貢獻就是在1969年發表了一篇文章，在文章中他表明均值方差分析與幾何平均數最大化準則之間存在部分出入。文章結尾處索普總結稱，「凱利準則應該代替馬科維茨準則來指導投資組合決策。」
也許當時沒有經濟學家敢發表這樣的異端邪說。貌似不可能有大型經濟學雜誌會刊登這樣的言論。索普的文章最後發表於《國際統計學會評論》（Review of the Iional Statistical Institute）。或許幾乎沒有經濟學家看到這篇文章。不管怎樣，幾乎沒有經濟學家聽說過約翰·凱利這個人。但這一狀況即將發生改變。