1954年1月，《計量經濟學》雜誌首次刊出了伯努利1738年發表的那篇提及聖彼得堡悖論的文章的英文譯本。西方經濟學家中，幾乎沒有人讀過論文原版，因此文章的完整內容並沒有廣泛流傳。英文譯本的出版表明長期以來人們都曲解並低估了伯努利的成就。
這篇文章的內容實際上並不是關於聖彼得堡悖論或者效用的。這兩項內容只是作為插入部分出現在文章中。伯努利的理論認為風險投資應該通過產出的幾何平均數進行估算。
從讀書的時候起，你可能就記得有兩種「平均數」。算數平均數是普通的那種，即把一系列數值相加求和然後除以數值的個數，得出的結果就是算數平均數。擊球率 就是這樣算出來的。當你在電子數據表中輸入公式「=AVERAGE（）」，計算機也是按照這個方法計算的。
大多數人高中畢業後可能會忘記什麼是幾何平均數。它是n個值連乘所得結果的n次方根。
如果可以的話，沒有多少人願意計算某個數值的n次方根，所以求幾何平均數的事大多是由統計學家完成的。當然，今天沒有人會手動計算這兩種平均數。在電子數據表中鍵入公式「=GEOMEAN（）」就可以計算出幾何平均數。
計算任何平均數都是為了讓生活更簡單。要記住棒球選手曼尼·拉米瑞茲（Manny Ramirez）的擊球率0.349比記住他整個職業生涯中的每場擊球得分要容易得多。擊球率或許比成堆的原始數據更能讓人了解一名選手的能力。
在棒球比賽和很多其他情況下，通常計算出算數平均數就足夠了。為什麼我們還要不厭其煩地計算幾何平均數呢？
伯努利的解釋始於賭博。一場「公平」賭博是指期望值為0的賭博，而期望值就是計算同等概率下出現的結果的算數平均值得來的。下面舉一個所謂公平賭博的例子。你把全部凈資產都押在拋硬幣遊戲中，你的對手是和你凈資產相同的鄰居。賭博的結果要麼你獲得雙倍資產，要麼一無所有。獲勝者將獲得失敗者的房子、車子、票子，所有的一切。
假設現在你擁有10萬美元，那麼硬幣拋出後，你要麼擁有20萬美元，要麼一無所有，出現這兩種結果的概率相同。算數平均數為（200000+0）/2，即10萬美元。如果你認為10萬美是本次賭博的公平恰當的價值，那麼你似乎應該對是否接受這次賭博持冷漠態度。因為你現在已經擁有10萬美元，而硬幣拋出後你的預期資金總額仍為10萬美元，根本沒有變化。
但人們並不是這樣推理問題的。如果你和你的鄰居都接受這次賭博，那一定是瘋了。因為相較於獲勝時拿到雙倍資產，一旦失敗，你的損失可要大得多。
看一看幾何平均數。兩個概率相同的結果相乘——$200000×$0——然後求平方根。由於任何數的0倍都為0，所以幾何平均數為0。接受這個數值為本次賭博的真正價值，那麼你將寧願守住自己的10萬美元資產而不去賭博。
幾何平均數幾乎總是小於算數平均數（特例就是所有平均值都完全相同時，這兩種平均數也相同）。這就是說，計算幾何平均數的方法是估算風險命題更為保守的方法。伯努利認為這種保守主義更好地反映出人們對風險的厭惡。
由於在風險投資中，幾何平均數總是小於算數平均數，「公平」賭博實際上是不利的。伯努利說這是「大自然在警告人們遠離賭博」（伯努利並未考慮到人們從賭博活動中獲得的歡愉）。
根據伯努利的觀點，當賠率向有利方向傾斜時，賭博才有意義。當賭博雙方存在財富差距時，賭博活動也能有意義。因此，伯努利解決了華爾街最古老的一個困惑。據說每次交易股票時，買家都認為自己佔據優勢，賣家也如此。那麼，這就說明買賣雙方的想法不可能都對。
伯努利挑戰了這一觀點。他說：「對於某個人來說，投資某個受質疑的企業或許是理智的，但對於其他人來說，這麼做或許是不理智的。」儘管他並沒有提到股票市場，但他談論的是一個從大洋彼岸運貨的「彼得堡商人」。這個商人就是在賭博，因為運貨船有可能會沉沒。他可以選擇為貨船上保險，但是根據算數平均數來衡量，保險通常是不利的賭博形式，因為保險公司要從保險費中獲取利潤。
伯努利表示一個相對貧窮的商人或許會通過買保險的方式改善幾何平均數（儘管保險「定價過高」），而同時比較富有的保險公司也通過賣保險的方式改善自己的幾何平均數。
伯努利認為理智的人總是能將產出的幾何平均數最大化，儘管他們自己並沒有意識到這一點：「由於我們的所有命題都與經驗完美結合，因此將其看作是依賴於不穩定假設的抽象因素而忽略掉的做法是錯誤的。」
伯努利的言論與約翰·凱利在1956年發表的文章有非常緊密的聯繫。凱利的法則最終可以被重新陳述為這樣一個簡單的法則：選擇賭博或者投資時，選擇最終結果的幾何平均數最高的那個。這一法則就是「凱利準則」，比凱利公式「勝率/倍率」在計算賭注大小方面應用更加廣泛。
當可能出現的結果的概率並不完全相同時，你需要根據其概率進行衡量。方法之一就是將預期財富對數最大化。遵循此法則的任何人都表現得好像擁有對數效用一樣。
從事件發生的年代順序來看，人們對凱利是否看過伯努利的文章提出質疑也是合情合理的，但並沒有證據證明這一點。凱利並沒有引用伯努利的觀點，如果他真的了解伯努利的論斷，那麼幾乎可以確定他一定會引用到他的文章中。作為一名通信科學家，凱利閱讀過《流體力學》的可能性幾乎為零。
然而，伯努利的文章對亨利·拉塔內（Henry Latane）產生了直接影響。將這些思想介紹給經濟學家們的正是拉塔內，而不是凱利。