丹尼爾·伯努利來自18世紀的一個充滿瘋狂競爭的天才家族。發現大數定理的雅各布正是丹尼爾的伯父。雅各布教他的弟弟約翰學習數學。約翰和雅各布一樣聰明，但也同樣自負。伯努利兄弟倆有個非常不幸的習慣，就是總愛互相競爭研究同一個問題。他們總是發表文字嚴厲抨擊對方。
約翰漸漸變成了一個內心充滿怨懟的人，他把這種沮喪感都發泄到自己的兒子丹尼爾（1700—1782）身上。丹尼爾既是數學家，也是物理學家。他發表了著名的法羅牌賭博分析文章，後來還發現了被應用於機翼設計方面的「伯努利效應」（Bernoulli effect）。約翰對自己兒子取得的成就並不感到高興。當父子倆在1734年一起被授予一項法國科學院獎項時，約翰將自己的兒子丹尼爾趕出了家門。約翰抱怨稱獲獎的應該只是他自己，而不應該是他們兩個人。1738年，丹尼爾出版了一本非常重要的著作，名為《流體力學》（Hydraulica）。第二年，他的父親用自己的名義出版了內容幾乎相同的一本書，而且虛報日期為1732年。通過這一計策，約翰可以堂而皇之地聲稱他兒子出版的書系剽竊。
後來丹尼爾離開父親，搬到了遙遠的聖彼得堡，這多少應該算是一種解脫。他在那裡為西化的俄羅斯法庭工作。丹尼爾寫了一篇非常重要的文章，這篇文章對20世紀經濟學家們接受克勞德·香農和約翰·凱利的思想具有很大的影響力。文章講的是伯努利家族另外一名天賦異稟的成員尼古拉·伯努利設計的一次虛構的賭博，他是瑞士巴塞爾大學（Uy of Basel）的法學博士。尼古拉是丹尼爾的堂兄。這次賭博涉及翻倍獎金的形式，這或許會讓人們想起凱利從《64000美元的問題》這檔知識問答節目中獲得的靈感。1783年，丹尼爾對此描述如下：
彼得連續拋硬幣，如果硬幣落地時「人頭」朝上，遊戲結束。他同意如果第一次拋擲結果是「人頭」朝上，即為成功，遊戲結束，他會給保羅1達克特 。如果第一次未成功，繼續拋擲，第二次結果如果是「人頭」朝上，他就給保羅2達克特。如果第二次仍未成功，而第三次結果是「人頭」朝上，他會給保羅4達克特。如果第三次仍未成功，第四次結果是「人頭」朝上，就給保羅8達克特，以此類推。隨著拋硬幣次數的增加，他需要付給保羅的錢幣將會翻番。假設我們需要計算出保羅的期望值。
平均來看，保羅預期能夠贏多少錢呢？要計算出隨機事件的數學期望值，你需要用概率乘以價值。第一次拋擲出現「人頭」朝上的概率為1/2，而出現這種結果保羅能夠贏1達克特（相當於現在的40美元左右）。1/2乘以1達克特，最後的期望值為1/2達克特。
這只是第一次拋擲人頭朝上的情況，還有很多其他情況能夠讓保羅贏錢。如果第一次拋擲結果是反面朝上，彼得會接著拋。如果第二次結果是人頭朝上，那麼保羅能贏2達克特。贏2達克特的概率是1/4，因為必須要確保第一次拋擲結果是反面朝上（1/2概率），而且第二次結果為人頭朝上（1/2概率）。那麼，用概率1/4乘以2達克特，結果就是1/2達克特。
同樣，贏4達克特的概率為1/8，那麼期望值還是1/2。贏8達克特的概率為1/16，贏16達克特的概率為1/32……以此類推。上述每種情況下期望值都是1/2達克特。因此，保羅預期獲利總值應該是以1/2達克特為一般項的無窮級數，也就是說他的預期收益是無窮的。
那麼，通過玩這個遊戲你會變得無窮富有嗎？不能。如果你不信，請拋硬幣試試。看看最終你到底能贏多少。
無窮期望值對於任何在現實生活中想要用數學方法制定決策的人來說都是一個大問題。因為這個值暗示你為了能夠獲得玩這個遊戲的權利，付多少錢都值得。如果賭場規定需要支付100萬美元手續費才能玩這個遊戲，那麼由此看來，理性的消費者都應該會抓住機會。如果賭場收取1萬億美元手續費，情況也是如此。
你或許更願意把這種賭博看作是成長股的首次公開募股。人們在估算一家新公司的前景時一定會總結出多種呈現不同概率和收益率的情況。他們總會在心裡計算出某個合理價格下獲得的收益，然後據此購買股票。伯努利所舉的例子說明在某些情況下，傳統的推理能夠讓你找到值得購買的股票，無論價格多高。
尼古拉和丹尼爾·伯努利都知道這很荒謬。丹尼爾寫道：
儘管標準的計算顯示保羅的期望值是無窮大，但不得不承認的是，任何一個足夠理智的人都會非常樂意用20達克特就把這樣的機會賣掉。儘管沒人願意以高價購買，但公認的計算方法確實計算出保羅的期望值為無窮數。
丹尼爾用拉丁文發表了上述言論。這種賭博被稱為「聖彼得堡遊戲」或者「聖彼得堡悖論」。從此，人們便對其產生了些許興趣。約翰·梅納德·凱恩斯在1921年出版的《概率論》（Treatise on Probability）一書中對這一悖論有所提及，使其成為20世紀幾乎所有經濟學家智力架構的組成部分。伯努利的賭博遊戲也出現在了馮·諾依曼和摩根斯特恩所寫的《博弈論與經濟行為》一書中，在肯尼斯·阿羅（Keh Arrow）、米爾頓·佛里德曼（Milton Friedman）和保羅·薩繆爾森等人的論文中也都出現過。
解決這一悖論簡直輕而易舉。因為彼得根本無法獲得無窮財富來兌現遊戲的潛在支出。沒人可以擁有無窮財富。因此，無窮級數的大多數條件是無法滿足的。獲得1000000美元獎金的概率是極其微小的，根本不值得你去計算。而且根本沒有實際意義，因為沒人能夠擁有這麼多錢兌現給別人。
假設一家賭場為顧客提供了玩這個遊戲的機會並設定最大盈利為10億美元，那麼這場遊戲價值幾何呢？少得多！假設獎金起始數額為1美元，那麼正常來看，第31次拋擲結果為人頭朝上的獎金是1073741824美元。對於賭場來說，最合理的做法就是將遊戲限定在30次拋擲內，然後將這10億美元獎勵給30次拋擲結果皆為反面朝上的人。那麼這個刪減版的遊戲期望值僅為15.93美元。
這要合理得多。遊戲本身的價值並沒有達到無窮大，而只是幾美元而已。這種解惑方式正是冷靜的現實主義者尋求的答案。但是哲學家和數學家們，甚至經濟學家們，很少能夠接受這樣一種解決方式。他們大多數人都認為我們可以假裝彼得擁有無窮財富，那麼如果我們說保羅為了玩這個遊戲願意付出任何代價豈不仍然很可笑嗎？
丹尼爾·伯努利的看法正是如此。他提出了一個不同的解決方式，對未來的經濟學思想產生了深遠影響。伯努利將金錢和人們賦予金錢的價值加以區分。對於一個億萬富翁來說，1000美元只是零錢而已。對於一個飢餓的乞丐，1000美元可是一大筆財富。經濟獲益（或者損失）的價值取決於受其影響的人的財富。
你或許會告訴自己說你已經了解了這一點。那麼好吧，伯努利的真正貢獻就是創造了一個新詞。這個詞被翻譯成英語「utility」（效用），描述的是人們賦予金錢的主觀價值。伯努利認為人們根據本能採取行動以最大限度獲得效用——不一定是最多錢（美元或是達克特）。伯努利指出：「物品的價值絕不能建立在其價格基礎上，而必須建立在其產生的效用基礎上。物品的價格只取決於物品本身，而且對任何人來說都一樣；然而，效用取決於做出評估的人所處的特定環境。」
1美元的價值對於富人來說比窮人低多少呢？誠懇的答案是「不一定」。對此伯努利舉了一個例子，據他描述，如果一個被囚禁的富人還差2000達克特才能獲得自由，那麼這個富人賦予這2000達克特的價值比沒有如此迫切需求的窮人賦予的價值要高得多。
這就是一種人為的困境。大多數時候，一個富人賦予2000達克特收益的價值比窮人要低。伯努利提出了一個概測法。他寫道：「在不存在特例的情況下，任何微小的財富增長所產生的效用都將與此前擁有的物品數量成反比。」
換句話說就是，如果你的朋友擁有的財富是你的2倍，那麼在贏了100美元賭注後他高興的程度將只是你贏得相同賭注時高興程度的一半。當然，付賬時的難過程度也是你的一半。
可以繪製效用與財富的對比圖（見圖4-1）。如果人們賦予金錢的價值與他們的財富值成正比，那麼圖中將會出現一條直線。而根據伯努利提出的概測法，這條線是一條曲線。這就反映出一個事實，即一大筆金錢收益才會對富人造成一定的影響，而要產生相同的影響力，窮人只需要一小筆即可。曲線的形狀（以及伯努利提出的金錢收益與既有財富成反比的法則）描述的是一個對數函數。伯努利的概測法因此被稱作「對數效用」。
伯努利用效用來解決聖