上文提到，一五六九年的麥卡脫世界地圖，對遠古時代尚未被冰層覆蓋的南極洲海岸，描繪得相當精確。有趣的是，對另一個地區——南美洲西海岸——的描繪，這幅地圖卻遠不及麥卡脫早些時畫的另一幅地圖（繪於一五三八年）精確。
原因可能是：這位十六世紀地理學家繪製前一幅地圖，根據的是古老的藍本；畫後一幅地圖，他則依賴第一批前往南美洲西部的西班牙探險家的觀察和測量。由於這些探險家帶回歐洲的是「最新」的資訊，麥卡脫在繪製地圖時，不得不充分加以利用。結果，他的作品在精確度上大不如前——畢竟，在一五六九年的時候，歐洲還沒有能夠判定經度的精密儀器，而遠古時代的製圖家，卻顯然使用過這類儀器。他們繪製的地圖被麥卡脫當作藍本，製作他那幅一五三八年世界地圖。
《發現經度》
我們不妨先探討一下「經度」（longitude）的問題。所謂經度，指的是本初子午線（prime meridian）以東或以西的距離度數。目前國際公認的本初子午線，是一條虛構的曲線，從北極一直畫到南極，穿過倫敦格林威治村的英國皇家天文臺。因此，在經度上格林威治是零度，美國紐約市位於西經七十四度左右，澳大利亞首都堪培拉則大約是在東經一百五十度的位置。
這兒，我們不必詳細討論如何精確判定地球表面任何一個地點的經度。我們關心的並不是技術細節，而是人類如何增進對經度的瞭解，如何逐漸解開經度之謎的「歷史事實」。其中最重要的一個事實是：十八世紀技術突破之前，製圖家和航海家缺少精密的儀器，無法對經度做精確的判定。他們只能猜測，往往「失之毫釐——差之千里」。那時候的測量技術畢竟還沒有成熟。
從赤道向南和向北起算的緯度（latitude），對製圖家和航海家則未構成太大的困難——只消利用簡單的儀器，以角度測量太陽和星辰的位置，就可以判定地球任一地點的緯度。判定經度，則必須具備性能更加高超的、能夠結合方位測量和時間測量的儀器。在已知的人類歷史中，科學家一直沒有能力發明這種儀器。到了十八世紀初葉，隨著海運日愈興盛，這種儀器的需求也變得日漸緊迫。研究這個時期歷史的一位學者指出：「當時人對經度的追尋，遠超過對船舶安全和水手生命的重視。精確的測量似乎是一個難以實現的夢想——在媒體記者筆下，'發現經度'不啻是'緣木求魚'。」
當時航海界最需要的，是一個極為精密的儀器，在漫長的航程中，它能夠精確地記錄時間（出發港口的時間）——儘管船舶不停晃動，天氣不斷變化。一七一四年，牛頓告訴英國政府設置的「經度委員會」：「這樣的計時器至今猶未問世。」
牛頓說得沒錯。十七世紀和十八世紀初葉的計時器非常粗糙，每天誤差達十五分鐘，而一個有效的航海用計時器（chronomete），在好幾年中最多也只能誤差十五分鐘而已。
一七二零年代，技術高超的英國鐘表匠約翰．哈里森（John Harrison）開始設計一系列的航海用計時器，經過多年研究，終於創造出第一具精密的經線儀。當時，經度委員會懸賞二萬鎊，徵求「能夠在六星期航程結束時判定船舶所在經度的儀器，誤差不得超過卅海裡」。哈里森的目標就是贏取這筆獎金。為了滿足經度委員會的要求，計時器每天的誤差絕對不能超出三秒鐘。哈里森花了將近四十年時間，試驗過好幾個原型後，終於達到經度委員會所訂的標準。一七六一年，他設計的「經線儀四號」被放置在皇家海軍兵艦「德普特福號」（Dept．ford）上，離開英國，駛向牙買加。哈里森的兒子威廉隨船操作經緯儀。航行九天後，威廉根據經線儀計算的經度，向艦長報告：第二天早晨他們肯定會看到馬德拉群島（Madeira Is．lands）。艦長以五比一的賭注跟威廉打賭，他們不會看到這座群島。結果威廉贏了。兩個月後，「德普特福號」抵達牙買加；哈里森設計的計時器誤差僅僅五秒鐘。
哈里森經線儀的精確度，超越了經度委員會制定的標準。然後，由於英國官僚體制從中作梗，直到他逝世前三年，也就是一七七三年，哈里森才領到二萬鎊獎金。當然，直到獎金拿到手後，他才將經線儀的設計訣竅公諸於世。由於這個延誤，英國航海家科克船長（Captainjames Cook）於一七六八年展開首度探險之旅時，並未使用經線儀。第三次出航（一七七八年到一七七九年），他卻能以極高的精確度測繪太平洋海域，不但確定了每一個島嶼和每一條海岸線的緯度，也標出了它們的經度。此後，「在科克的地圖和哈里森的經線儀指引下，在浩瀚的太平洋中，每一個航海家都能找到任何一座島嶼，不會再一頭撞上突然出現眼前的海岸線」。
毫無疑問，以經度測量的準確性而言，科克的太平洋地圖稱得上現代製圖技術的最早典範。此外，這些地圖也提醒我們，製作一幅好地圖至少必須具備三個要件：偉大的探險旅程、高超的數學和繪圖技能、精良的經線儀。
直到一七七零年代，哈里森經線儀大量上市後，上述先決條件中的第三項才真正被達成。這個突破性的發明，使製圖家能夠精確地繪出經線，而根據一般歷史學家的看法，古代的蘇美爾人、埃及人、希臘人、羅馬人和十八世紀以前的其他已知文明，全都未曾擁有這項技術。因此，當我們接觸到一些年代極為古老、經緯線精確度卻具有現代水準的地圖時，心中難免會感到驚異和不安。
《精確出奇的古儀器》
這些精確得出奇的經緯線，也出現在同一類的文件中。筆者在上文列舉的先進地理知識，就是保存在這些圖籍裡頭。
例如，一五一三年的皮瑞．雷斯地圖，將南美洲和非洲放置在相對正確的經度上。以當時的科技水準而言，這在理論上幾乎是不可能的。皮瑞．雷斯坦承，他的地圖是依據更古老的圖籍畫成的。他那些精確度極高的經線，莫非取自古老的圖籍？
同樣不可思議的是繪於公元一三三九年，以歐洲和北非為焦點的「杜爾瑟特航海圖」（Dulcert Portloano）。在這幅涵蓋面非常遼闊的地圖上。緯線毫無差誤；從地中海到黑海的經線，誤差也僅僅半度而已。
哈普古德教授認為，「杜爾瑟特航海圖」所使用的藍本地圖，「在判定緯度和經度的比例上，表現出極高的科學準確性。它的繪製者顯然擁有精確的資訊，對分散在廣大區域的許多地點——從愛爾蘭的蓋爾威（Galway）到俄羅斯頓河的東彎流域——的相對經度，皆瞭如指掌」。
公元一三八零年的「齊諾地圖」（Zeno Map）是另一個謎團。它涵蓋遼闊的北方區域，連格陵蘭也包含在內，然而，它卻能以「精確得出奇」的經緯度，標示分散在廣大區域的許多地點所在的位置。哈普古德教授指出：「在十四世紀，居然有人能夠判定這些地方的正確緯度——更不必說正確的經度——實在令人難以置信。」
費納烏斯的世界地圖也值得注意。它精確地將南極洲海岸放置在正確的緯度和相對經度上，而整個南極大陸所在的位置，在經、緯度上也相當精確。這幅地圖所表現的地理知識，是廿世紀之前的西方人不曾具備的。
班和拉的航海圖，在相對緯度和經度上也異常精確。從西邊的直布羅陀到東邊的亞速海，總經度僅僅誤差半度，而整幅地圖在經度上的平均誤差也不到一度。
以上這些例證，只不過是哈普古德教授搜集的大量證據中的一小部分而已。他不厭其煩，把畢生精力搜尋這些資料，並加以詳盡分析，為的是想證明一點：如果我們以為，直到十八世紀，人類才發明測量經度的精密儀器，我們簡直就是欺騙自己。皮瑞．雷斯和其他製圖家所畫的地圖，樣樣都證實，這種儀器在古遠時代早就存在，十八世紀的西方人只是「重新發現」它。這些地圖也顯示，遠古時代曾經有一個文明的民族（現在已經從歷史消失）使用這種儀器，對整個地球進行探測。此外，從這些地圖我們可以看出，這個古民族不但能夠設計、製造在技術上非常先進的精密器械，同時也掌握了高度的數學知識。他們可說是一群早熟的數學家。
《失落的數學家》
探討這個問題之前，我們必須先提醒自己：地球是圓的。因此，在繪製地圖的時候，只有球形才能以正確的比例呈現地球的真正面貌。將地理資料從一個球體轉移到平面的紙張，難免會造成扭曲的現象；我們在紙張上繪製地圖時，必須使用一種人工的、複雜的機械和數學裝置，稱為「地圖投影」（Map Projection）。
地圖投影法有很多種。現在仍被廣泛使用的麥卡脫投影法也許是大家最熟悉的。其他投影法名稱稀奇古怪，諸如「方位角投影」（Azimuthal）、「球極平面投影」（Stereographic）、「日晷儀投影」（Gnomonic）、「方位角等距投影」（Azirnuthal Equ